Question

диагональ AC параллелограмма ABCD служит диаметром окружности, которая пересекает стороны AD и CD в точках E и F соответственно. Найти площадь параллелограмма, если известно, что AE : ED = 2 : 7, CF=18 см, DF= 3 см

Answer 1

Теорема о секущих :

если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Примем коэффициент пропорциональности отрезков стороны параллелограмма за х.

Тогда получаем равенство 9х*7х = 21*3 = 63,

63х² = 63,

х² = 1,

х = √1 = 1.

Получаем длину стороны 9 см.

Отрезок СЕ будет высотой параллелограмма, так как АС - диаметр. а угол АЕС - прямой

Высоту находим по Пифагору:

Н = √(21² - 7²) = √(441 - 49) = √392 = 14√2 см.

Отсюда получаем площадь:

S = 9*14√2 = 126√2 ≈ 178,191 см².

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать несколько свойств параллелограмма и окружности. #### **Свойства параллелограмма:** 1. Стороны параллелограмма параллельны и равны по длине. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. #### **Свойства окружности:** 1. Диаметр окружности является наибольшей хордой. 2. Любая хорда, проходящая через центр окружности, делит её на две равные части. 3. Если хорда проходит через точку на окружности, то она делит эту хорду на две равные части. #### **Решение:** По условию, диагональ AC параллелограмма ABCD является диаметром окружности, которая пересекает стороны AD и CD в точках E и F соответственно. Поскольку AE:ED = 2:7, мы можем предположить, что точка E делит диагональ AC на две части: AE и ED. По свойству окружности (пункт 3), точка E делит сторону AD на две равные части. Таким образом, AD = AE + ED = 2x + 7x = 9x, где x - некоторая константа. Аналогично, мы можем предположить, что точка F делит диагональ AC на две части: AF и FC. По свойству окружности (пункт 3), точка F делит сторону CD на две равные части. Таким образом, CD = CF + FD = 18 + 3 = 21 см. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны по длине, AB = CD = 21 см. Также, по свойству параллелограмма (пункт 2), AD || BC, поэтому AD = BC. Таким образом, BC = 9x. Также известно, что DF = 3 см. #### **Нахождение площади параллелограмма:** Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу: Площадь = Сторона * Высота. В нашем случае, сторона параллелограмма AB = BC = 9x, а высота параллелограмма - это расстояние между сторонами AB и CD, которое равно DF = 3 см. Таким образом, площадь параллелограмма S = AB * DF = (9x) * 3 = 27x. #### **Нахождение x:** Для нахождения x, мы можем использовать информацию, что AB = CD = 21 см. Поскольку AB = BC, мы можем записать: 9x = 21. Решая это уравнение, мы получаем: x = 21 / 9 = 7/3. #### **Подставляем x в формулу для площади:** x = 7/3, поэтому площадь параллелограмма S = 27 * (7/3) = 63 см^2. Таким образом, площадь параллелограмма равна 63 см^2.