Question

Докажите, что проходят если через две параллельные прямые пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна каждой из двух прямых или совпадает с одной из них.

Answer 1

Теорема: Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых

Answer 2

Линия пересечения двух параллельных прямых и пересекающихся плоскостей

Если через две параллельные прямые пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения будет параллельна каждой из двух прямых или совпадать с одной из них.

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть две параллельные прямые, обозначим их как l1 и l2. Пусть также есть две пересекающиеся плоскости, обозначим их как P1 и P2. Предположим, что линия пересечения этих плоскостей не параллельна ни одной из прямых l1 и l2.

Теперь рассмотрим точку A на линии пересечения плоскостей P1 и P2. Поскольку линия пересечения не параллельна ни одной из прямых l1 и l2, то линия, проходящая через точку A и параллельная прямой l1, должна пересечь плоскость P2 в некоторой точке B. Аналогично, линия, проходящая через точку A и параллельная прямой l2, должна пересечь плоскость P1 в некоторой точке C.

Теперь рассмотрим треугольник ABC, образованный точками A, B и C. Поскольку точка B лежит на плоскости P2, а точка C лежит на плоскости P1, то треугольник ABC должен лежать в обоих плоскостях P1 и P2. Но это невозможно, так как P1 и P2 пересекаются только в линии пересечения.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что линия пересечения не параллельна ни одной из прямых l1 и l2, неверно. Следовательно, линия пересечения должна быть параллельна каждой из двух прямых или совпадать с одной из них.

Доказательство:

1. Пусть l1 и l2 - две параллельные прямые. 2. Пусть P1 и P2 - две пересекающиеся плоскости. 3. Предположим, что линия пересечения не параллельна ни одной из прямых l1 и l2. 4. Рассмотрим точку A на линии пересечения. 5. Проведем линию, проходящую через точку A и параллельную прямой l1. Обозначим точку пересечения этой линии с плоскостью P2 как B. 6. Проведем линию, проходящую через точку A и параллельную прямой l2. Обозначим точку пересечения этой линии с плоскостью P1 как C. 7. Рассмотрим треугольник ABC, образованный точками A, B и C. 8. Поскольку точка B лежит на плоскости P2, а точка C лежит на плоскости P1, то треугольник ABC должен лежать в обоих плоскостях P1 и P2. 9. Но это невозможно, так как P1 и P2 пересекаются только в линии пересечения. 10. Получили противоречие с нашим предположением. 11. Следовательно, линия пересечения должна быть параллельна каждой из двух прямых l1 и l2 или совпадать с одной из них.

Таким образом, мы доказали, что если через две параллельные прямые пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения будет параллельна каждой из двух прямых или совпадать с одной из них.