Question

№740. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки завдовжки 8 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника. (Решение пожалуйста с дано и рисунком) ​

Answer 1

Дано:

ΔABC, ∠B = 90°.

Вписанная окружность с центром O и радиусом OD = OE = OF,

D∈BC, E∈AC, F∈AB.

OE = 12 (см), EC = 8 (см).

Найти:

$S_{\triangle ABC} = ?$

Решение:

Заметим, что $AE=AF=12$  и  $CE=CD=8$ (так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны).

Пусть $OD=OE=OF=r$.

Тогда $\square BDOF$ - квадрат, так как $\angle B = \angle D = \angle F = 90 \textdegree$ (и, значит, $\angle O = 360 \textdegree - 3 \cdot 90 \textdegree = 90 \textdegree$), а также $OD=FB$, $OF=DB$ и $OF=OD$. - Все стороны и углы данного четырехугольника равны.

Значит, $BD=BF=r$.

Тогда катеты треугольника $AB=12+r$ и $BC=8+r$, а гипотенуза равна $AC=12+8=20$.

По тереме Пифагора:

$(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2$

$(12+r)^2+(8+r)^2=20^2\\144+24r+r^2+64+16r+r^2 = 400\\208+40r + 2r^2=400\\2r^2+40r = 192\\r^2+20r-96=0\\\left[\begin{array}{ccc}r_1=4\\r_2=-24\end{array}\right$

Второй корень нам не подходит (он отрицательный ... ).

Так что $r=4$.

$AB=4+12=16\\BC=4+8=12$

Можем найти площадь:

$S_{ \triangle ABC} = \dfrac{(AB) \cdot (AC)}{2} = \dfrac{16 \cdot 12}{2} = 96$

Задача решена!

Ответ:  

96  см².

Answer 2

Пусть точка дотику кола с гіпотенузою трикутника на відрізку завдовжки 8 см обозначена точкою А, а на відрізку завдовжки 12 см - точкою В. Також, пусть точка дотику кола з прямою, що проходить через вершину прямокутного трикутника і центр кола, обозначена точкою С. Так як точка С є центром кола, то відрізок СА є радіусом кола, а відрізок СВ ділить радіус кола на дві рівні частини. За теоремою про серединний перпендикуляр, відрізок СВ буде перпендикулярним до відрізка АВ і буде його серединним перпендикуляром. Це означає, що відрізок СВ ділить відрізок АВ навпіл. За властивостями кола, висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить трикутник на дві подібні прямокутні трикутники. Оскільки відрізок СВ є висотою трикутника, то трикутники САВ і СВС також є подібними прямокутними трикутниками. Висота трикутника ділить його на дві рівні частини. Отже, площа трикутника САВ дорівнює половині площі прямокутного трикутника ABC. Оскільки відрізок СВ ділить відрізок АВ навпіл, то відрізок СВ дорівнює половині АВ. З цього випливає, що ВС = 6 см. Відрізок АВ дорівнює 8 + 12 = 20 см. Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо: АС² = АВ² - ВС² = 20² - 6² = 400 - 36 = 364. Площа прямокутного трикутника ABC дорівнює: (АВ * АС) / 2 = (20 * √364) / 2 = √3640 = 60,33 см². Отож, площа трикутника ABC дорівнює 60,33 квадратних сантиметрів.