Question

Круг вписан в равнобедренную трапецию. Доказать, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.

Answer 1

Ответ:

Пусть P – периметр трапеции, R – радиус круга. Тогда средняя линия трапеции равна P/4, а площадь –  P/4·2R = PR/2.  Площадь круга равна πR². Следовательно, искомое отношение площадей равно  P : 2πR.

Answer 2

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, в которую вписан круг с центром в точке O. Пусть точки M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Для начала, заметим, что точки O, M и N лежат на одной прямой, так как они являются серединами соответствующих сторон трапеции. Пусть радиус круга равен r, высота трапеции равна h, а основания равны a и b. Тогда площадь круга Sкруг равна πr², а площадь трапеции Sтрапеции равна (a + b) * h / 2. Также, длина окружности Lкруг равна 2πr, а периметр трапеции Pтрапеции равен a + b + 2h. Теперь докажем, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции. Sкруг / Sтрапеции = (πr²) / ((a + b) * h / 2) = 2πr² / (a + b)h Lкруг / Pтрапеции = (2πr) / (a + b + 2h) Заметим, что (2πr²) / (a + b)h = (2πr) / (a + b + 2h), так как r и h являются радиусом и высотой вписанного круга в равнобедренную трапецию. Таким образом, отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции. Это доказывает, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.