Question

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1,основанием которого является ромб ABCD,а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания.Докажите,что диагональ B1D параллелепипеда перпендикулярна к диагонали AC его основания.

Answer 1

BB1 - перпендикуляр к (ABCD). BD проекция наклонной B1D, BD перпендикулярна AC, B1D - наклонная. Значит B1D перпендикулярна AC по теореме о трёх перпендикулярах.

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности диагоналей B1D и AC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать свойства параллелограммов и прямоугольных треугольников. Известно, что основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромбом ABCD. По свойству ромба, его диагонали AC и BD перпендикулярны и половинные. Также известно, что боковое ребро параллелепипеда перпендикулярно к плоскости основания. Это означает, что боковое ребро B1D параллельно диагонали AC. Теперь докажем, что B1D и AC перпендикулярны. Возьмем точку E на ребре B1D, такую что AE перпендикулярно B1D. Так как AE перпендикулярно B1D, то AE и BD также перпендикулярны. Теперь рассмотрим треугольники AEB и BDC. В этих треугольниках у нас есть следующие соотношения: 1. BD перпендикулярна AC (свойство ромба). 2. AE перпендикулярна BD (выбрана такой точкой). 3. AE перпендикулярна AC (из 2 и 1). Таким образом, мы получили, что AE перпендикулярна AC. Но AE является боковым ребром параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, а значит, B1D и AC перпендикулярны. Таким образом, доказано, что диагональ B1D параллелепипеда перпендикулярна диагонали AC его основания.