Question

1)докажите что если около четырехугольника описать окружность,то сумма его  противоположных углов равна 108 градусов.     2)Углы A, B и D вписанного четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол С этого четырехугольника.     3)В трапеции АВСD меньшая диагональ ВDперепендикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов A и C равна 90 градусов.Найдите площадь трапеции,если основания AD=2,BC=18

Answer 1

1. Сумма противоположных углов четырехугольника равна не 108, а 180.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.  А противоположные углы четырехугольника опираются на дуги, сумма градусных мер которых равна 360 градусов. А половина этого равна 180!

 2. Мы доказали толко что, что сумма противоположных углов прямоугольника, вписанного в окружность, равна 180 градусов. Д+В=180, но Д=3х, а В=2х, значит, х=36 градусов. Угол А равен х = 36, отсюда, угол С=180-36 = 144 градуса.

 3. А+С=90. , нро треугольники АВД и ВСД - прямоугольные и углы у них ВДС = А, а угол АВС = С. Составляем пропорцию для угла А. ВД:18=2:ВД   отсюда ВД^2=36  ВД = 6.  Высота трапеции равна 6. Площадь её равна  1/2 (2+18) * 6 = 60

Answer 2

1) Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться теоремой о вписанном угле четырехугольника. Согласно этой теореме, сумма внутренних противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов. Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, в который описана окружность. Тогда угол ACD и угол ABC являются противоположными и их сумма равна 180 градусов. Угол ABD и угол BCD также являются противоположными и их сумма также равна 180 градусов. Теперь рассмотрим дуги AD и BC на окружности, которые соответствуют этим противоположным углам. Так как центр окружности находится внутри четырехугольника, то углы ACD и BCD являются надугольниками на этих дугах. Таким образом, сумма углов ACD и BCD равна сумме этих дуг на окружности. Так как сумма углов ACD и BCD равна 180 градусам, то сумма дуг AD и BC на окружности также равна 180 градусам. Но это значит, что противоположные дуги AD и BC на окружности также являются равными. Таким образом, сумма противоположных углов в четырехугольнике ABCD, описанном около окружности, равна 180 градусам. Но в условии задачи указано, что эта сумма равна 108 градусам. Это противоречие, поэтому невозможно построить четырехугольник, в котором сумма противоположных углов равна 108 градусам. 2) Пусть углы a, b и d относятся как 1:2:3. Мы можем представить каждый из этих углов в виде выпуклого угла, состоящего из двух острых углов. a = x + y b = 2x + 2y d = 3x + 3y Где x и y - острые углы. Теперь рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD. Сумма всех его углов равна 360 градусов. a + b + c + d = 360 x + y + 2x + 2y + c + 3x + 3y = 360 6x + 6y + c = 360 Так как a, b и d относятся как 1:2:3, то мы можем записать: 1/6(6x + 6y + c) = 1/6 * 360 x + y + c/6 = 60 c/6 = 60 - (x + y) Таким образом, для нахождения угла C, нам нужно найти значение c. 3) В трапеции ABCD меньшая диагональ Bd перпендикулярна к основаниям AD и BC, и сумма острых углов a и c равна 90 градусов. Поскольку Bd перпендикулярна к AD и BC, углы bad и bcd являются прямыми углами. Угол a является острым углом, поэтому он составляет менее 90 градусов. Также из условия известно, что a + c = 90. Следовательно, угол c будет составлять более 90 градусов. Площадь трапеции можно найти, используя формулу: S = ((a + c) / 2) * h, где S - площадь, a и c - основания, h - высота. Так как a и c составляют полный угол 90 градусов, то угол b равен 180 - a - c = 90 градусов. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник BCD с прямым углом в b и катетами BD и BC. По теореме Пифагора: BD^2 + BC^2 = CD^2 Так как BC перпендикулярна BD, BC является высотой треугольника BCD. Также, как известно из условия, основание BC равно 18. Используя теорему Пифагора и подставляя известные значения, мы можем найти длину CD. BC^2 + BD^2 = CD^2 18^2 + BD^2 = CD^2 324 + BD^2 = CD^2 Теперь мы можем найти площадь треугольника BCD, используя формулу: S = (BC * BD) / 2. Таким образом, площадь трапеции ABCD будет равна S = ((a + c) / 2) * h, где a, c и h будут известными значениями для нас.