Question

Дві висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, дорівнюють 2 і 3. Кут між цими висотами дорівнює 150°. Знайдіть суму квадратів діагоналей паралелограма

Answer 1

Відповідь:   d₁² + d₂² = 104 .

Пояснення:

У пар - мі ABCD  AM⊥BC ;  AM = h₁ = 2 ; AN⊥DC ; AN = 3 ; ∠MAN = 150°.

У прямок . тр - никах , утворених кожною із висот і відповідною

стороною пар - ма як гіпотенузами , гострі кути проти висот є суміжними із тупим кутом пар - ма . Цей тупий кут дорівнює за умовою 150° , тому суміжний з ним , наприклад , ∠ADN = 180° - 150° =

= 30° . Катет проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи , тобто

висоти   h₁  i  h₂ дорівнюють половинам сторін пар - ма :

АВ = 2 * h₁ = 2 * 2 = 4 ;   AD = 2 * h₂ = 2 * 3 = 6 . За властивістю

діагоналей пар - ма  d₁² + d₂² = 2* ( a² + b² ) , тобто

          d₁² + d₂² = 2* ( 4² + 6² ) = 2 * ( 16 + 36 ) = 2 * 52 = 104 .    

Answer 2

Припустимо, що паралелограм ABCD має дві висоти, які проведені з вершини A і утворюють кут 150° (позначені як AH і AK). Довжина AH дорівнює 2, а довжина AK дорівнює 3. За властивостями паралелограма, довжина діагоналі може бути обчислена за формулою: d = √(a^2 + b^2 + 2abcos(θ)) де a і b - довжини сторін паралелограма, а θ - кут між ними. Довжина сторони паралелограма можуть бути обчислені за довжинами висот. Нехай BC - сторона паралелограма, що проходить через вершину A, перпендикулярно до AK. Тоді довжина BC дорівнює довжині висоти AH, тобто 2. Аналогічно, довжина AD дорівнює довжині висоти AK, тобто 3. Тепер ми маємо всі дані, щоб обчислити суму квадратів діагоналей паралелограма: AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2(AB)(BC)cos(θ) = AB^2 + BC^2 + 2(AB)(2)cos(150°) BD^2 = AD^2 + BC^2 + 2(AD)(BC)cos(θ) = AD^2 + BC^2 + 2(AD)(3)cos(150°) Так як паралелограм ABCD має протилежні сторони, то AC = BD. Тому, сума квадратів діагоналей буде: AC^2 + BD^2 = (AB^2 + BC^2 + 2(AB)(2)cos(150°)) + (AD^2 + BC^2 + 2(AD)(3)cos(150°)) Тепер застосуємо відповідні заміни: AB^2 = AC^2 + AH^2 AD^2 = BD^2 + AK^2 Отримаємо: AC^2 + BD^2 = (AC^2 + AH^2 + BC^2 + 2(AC)(BC)cos(150°)) + (BD^2 + AK^2 + BC^2 + 2(BD)(BC)cos(150°)) Замінимо відповідно AH на 2, AK на 3: AC^2 + BD^2 = (AC^2 + 4 + BC^2 + 2(AC)(BC)cos(150°)) + (BD^2 + 9 + BC^2 + 2(BD)(BC)cos(150°)) Замінимо відповідно BC на 2 і BC на 3: AC^2 + BD^2 = (AC^2 + 4 + 4 + 2(AC)(2)cos(150°)) + (BD^2 + 9 + 4 + 2(BD)(3)cos(150°)) Після спрощення ми отримаємо остаточний вираз для суми квадратів діагоналей паралелограма.