Question

В равнобедренном треугольнике MNK угол при основании МК = а. Найти отношение высот МЕ и NH.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике MNK (MK - основание) NH не только высота, но и медиана. Пусть MH=x, тогда MK=2x.

В прямоугольном треугольнике NHM (∠H=90°):

NH=MH·tg(∠NMH)=x·tg(a).

В прямоугольном треугольнике MEK (∠E=90°):

ME=MK·sin(∠EKM)=2x·sin(a).

$\dfrac{ME}{NH} =\dfrac{2x\cdot \sin a}{x\cdot {\tt tg} a} =\dfrac{2\sin a\cos a}{\sin a} =2\cos a$

Ответ: 2cos(a).

Answer 2

Для нахождения отношения высот ME и NH в равнобедренном треугольнике MNK с углом при основании МК равным 'а', мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников. В равнобедренных треугольниках биссектриса угла при основании также является медианой и высотой. В данном случае, треугольник MNK является равнобедренным, так что мы можем применить это свойство. Пусть высота ME делит сторону MK на две равные части, и пусть точка пересечения ME и NK обозначается как P. Точка H - середина стороны MN, и высота NH также делит сторону MK на две равные части. Теперь мы видим, что треугольники MEP и NEH - это два подобных треугольника, так как у них одинаковые углы (так как ME и NH - это высоты и они перпендикулярны к стороне MK) и угол при вершине E и H равен 'а' (так как треугольник MNK равнобедренный). Теперь мы можем использовать соотношение между сторонами подобных треугольников. Пусть x - это длина MP (или EP), и y - это длина NP (или HP). Тогда: x / ME = NE / y Теперь мы видим, что ME и NE равны друг другу, так как они оба являются половинами стороны MK в равнобедренном треугольнике MNK. Поэтому: ME / NE = 1 Теперь наша формула становится: x / 1 = 1 / y Теперь мы можем решить это уравнение относительно x и y: x = y Таким образом, отношение высот ME и NH в равнобедренном треугольнике MNK равно 1:1.