Question

Периметр треугольника ABC равен 18. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так, что прямая MN параллельна прямой AB и касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину стороны AB, если известно, что MN=2.

Answer 1

Ответ: 6.............................................

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством окружности, вписанной в треугольник. Выразим радиус вписанной окружности через полупериметр треугольника и его площадь. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC. s - полупериметр треугольника (s = (a + b + c) / 2). S - площадь треугольника. Радиус вписанной окружности можно выразить следующим образом: r = S / s. Так как периметр треугольника ABC равен 18, то a + b + c = 18. Также из условия задачи, прямая MN параллельна прямой AB, поэтому угол AMN равен углу ABC, а угол BMN равен углу BAC. Следовательно, треугольник AMN подобен треугольнику ABC. Из подобия треугольников AMN и ABC следует, что соотношение их сторон равно соотношению MN и AB: AM/AB = MN/BC. Так как известно, что MN = 2, заменяем это значение в выражении: AM/AB = 2/BC. Также заметим, что прямая MN касается вписанной окружности треугольника ABC. Тогда отрезок AM является медианой треугольника ABC, проходящей из вершины A и делящей противоположную сторону пополам. Аналогично отрезок BN является медианой треугольника ABC, проходящей из вершины B и делящей противоположную сторону пополам. Медианы треугольника делят его на 6 равных треугольников. Поэтому AM = BC/3 и BN = AC/3. Подставим найденные значения AM и BN в уравнение AM/AB = 2/BC: (BC/3)/AB = 2/BC. Упростим: BC^2 = 6AB. Также знаем, что a + b + c = 18, поэтому BC + AC + AB = 18. Из этого уравнения можно выразить AC через BC и AB: AC = 18 - BC - AB. Подставляем значение AC и BC в уравнение BC^2 = 6AB: BC^2 = 6AB. (18 - BC - AB)^2 = 6AB. Раскрываем скобки: 324 - 36BC - 36AB + BC^2 + 2BCAB + AB^2 = 6AB. Упрощаем выражение и переносим все слагаемые на одну сторону: AB^2 + (2BC - 36)AB + (BC^2 - 36BC + 324) = 0. Это квадратное уравнение относительно AB. Теперь найдём длину стороны AB.