Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО!!! Две окружности, касающиеся внешним образом, имеют общие внешние касательные КМ и КР, угол между которыми 90 ͦ. Хорды, соединяющие эти точки касания, равны и соответственно. Найдите расстояние между центрами окружностей.​

Answer 1

Ответ:  Расстояние между центрами окружностей  = 12

Объяснение:   Смотрите рисунок.

К – точка пересечения касательных. Угол К – прямой. КО2 – биссектриса угла К.  А и А, а так же В и В – точки касания окружностей касательных. АА и ВВ – хорды окружностей, пересекают биссектрису в точках М и Н соответственно. О1 и О2 – центры окружностей.  На рисунке видно, что расстояние между центрами окружностей О1О2 = r + R.   Найдем r. АО1 параллельна КА. Т.к КО1 – биссектриса угла К, то АА перпендикулярна КО1. Следовательно ∠КАМ = ∠МАО1 = 90/2 = 45°  Т.к. ∠АМО1 = 90°, то ∠АО1М = 180 – 90 – 45 = 45°. Таким образом, ΔАМО1 – равнобедренный и О1М = АМ = (2√2)/2 = √2.  Следовательно, r = √{(√2)² + (√2)²} = √4 = 2.  Аналогично для R: О2Н = ВН = (10√2)/2 = 5√2.  Тогда R = √{(5√2)² +(5√2)²} = √(25*2) + (25*2) = √100 = 10.  Расстояние между центрами окружностей = 2 + 10 = 12

Answer 2

Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей, r₁ и r₂ - их радиусы, А и В - точки касания окружностей, КМ и КР - их общие внешние касательные, а М и Р - точки касания окружностей с касательными. Рисуем данную ситуацию: ``` A B ---M--------------------Р--- O₁ O₂ <-----------------> расстояние между центрами ``` Так как хорды АМ и ВР одинаковые по длине, то они равны по половине хорды АВ, так как обратное утверждение верно: если хорды равны по половине длины других хорд, то сами они равны. Пусть длина хорды АВ равна 2а. Тогда длина хорды АМ равна длине хорды ВР и равна а. Так как АМ и ВР являются радиусами окружностей, и они касаются КМ и КР перпендикулярно, то треугольники АМК и ВРК прямоугольные при М и Р соответственно. Также из дано следует, что углы МАК и ПВР равны по 90°. Тогда, используя свойства прямоугольных треугольников, можем составить следующую систему уравнений: 1. r₁² = а² + КМ² 2. r₂² = а² + КР² 3. КМ * КР = а² Из уравнений (1) и (2) можем выразить КМ² и КР²: 1. КМ² = r₁² - а² 2. КР² = r₂² - а² Подставляем эти значения в уравнение (3): (r₁² - а²) * (r₂² - а²) = а² Раскрываем скобки: r₁² * r₂² - r₁² * а² - а² * r₂² + а⁴ = а² Сокращаем а²: r₁² * r₂² - r₁² - а² * r₂² + а⁴ = 0 Переносим все слагаемые в левую часть уравнения: а⁴ - r₁² * а² - а² * r₂² + r₁² * r₂² = 0 Данное уравнение является квадратным уравнением относительно а². Обозначим r₁² = p и r₂² = q: а⁴ - p * а² - q * а² + p * q = 0 Для решения данного уравнения используем квадратное уравнение: а⁴ - (p + q) * а² + p * q = 0 Обозначим p + q = s: а⁴ - s * а² + p * q = 0 Решаем квадратное уравнение относительно а²: D = s² - 4 * p * q а² = (s ± √D) / 2 Раскрываем корень: а² = (s ± √(s² - 4 * p * q)) / 2 Так как а > 0, выбираем положительное значение в формуле: а = √((s + √D) / 2) Теперь можем найти расстояние между центрами окружностей: расстояние = 2 * а Подставляем найденное значение а в эту формулу и получаем ответ.