Question

В равнобедренной трапеции периметр равен 64 см, разность оснований равна 18 см, а высота относится к боковой стороне как 4:5 найдите площадь трапеции

Answer 1

Пусть АBCD трапеция с бОльшим основанием АD. Опустим высоты ВН и СК на основание АD. Получим два равных прямоугольных треугольника, ABH=СDK, АН=КD=(AD-BC):2=18:2=9 см.
Пусть 4х см высота ВН, 5х боковая сторона АВ. По теореме Пифагора:
АВ²=ВН²+АН², подставим значения, получим
(5х)²=(4х)²+9²
25х²=16х²+81
25х²-16х²=81
9х²=81
х²=81:9
х²=9
х1=-3<0 не подходит
х2=3,
4*3=12 см высота ВН
5*3=15 см боковая сторона АВ=СD.
Найдем основание трапеции
Периметр АВСD=AB+BC+CD+AD
подставим известные значения, получим
64=15+ВС+15+АD
64=30+BC+AD
64-30=BC+AD
34=BC+AD, воспользуемся формулой площади трапеции: S=(AB+BC)*BH/2=34*12/2=204 см²
Ответ: 204 см²

Answer 2

Пусть основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Также, периметр равнобедренной трапеции равен 64 см, то есть a + b + 2h = 64. Разность оснований равна 18 см, то есть b - a = 18. Так как трапеция равнобедренная, то ее боковые стороны равны, и можно сказать, что a + h = b + h. Тогда a = b - 18. Заменим значение a в первом уравнении: (b - 18) + b + 2h = 64. Упростим это уравнение: 2b + 2h - 18 = 64 => 2b + 2h = 82. Также, высота относится к боковой стороне как 4:5, или h/b = 4/5, откуда h = (4/5) * b. Теперь заменим значение h во втором уравнении: 2b + 2((4/5) * b) = 82. Упростим это уравнение: 2b + (8/5) * b = 82 => 10b + 8b = 410 => 18b = 410 => b = 410/18 = 22.78 см. Тогда a = b - 18 = 22.78 - 18 = 4.78 см. Теперь можем найти площадь трапеции: S = ((a + b) * h) / 2 = ((4.78 + 22.78) * (4/5) * 22.78) / 2 = 811.88 см^2. Ответ: площадь трапеции равна 811.88 см^2.