Question

К окружности проведена касательная AB(B- точка касания). Прямая AM проходит через центр окружности и пересекает её в точках M и N. Найдите квадрат расстояния от точки B до прямой AN, если AM=1,AB= корень из 3

Answer 1

1) Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Значит, AB²= AN * AM; AN = AB²/ AM; AN = (√3)²/1 = 3; MN – диаметр;

OB = OM = ON = R = (AN – AM)/2; R = (3 – 1)/2 = 1; AO = AM + OM; AO = 1+1 = 2.

2) △OBA – прямоугольный; BH – высота; ⟹ △OBH ≈ △OBA; △OBH ≈ △HBA.

Значит, OH/OB = OB/OA; OH = OB²/OA; OH = 1²/2 = 0,5; AH = OA – OH;

AH = 2 – 0,5 = 1,5 и OH/BH = BH/AH; BH²= OH * AH; BH²= 0,5 * 1,5 = 0,75.

Или:

2) △OBA – прямоугольный. Т.к. OB = 1/2AO, то ∠A = 30°. Значит ∠BOA = 60°.

OB = OM и ∠BOA = 60° ⟹ △OBM – равносторонний, BH – высота. h = a√3/2.

BH= OM*√3/2; BH = 1*√3/2; BH²= (√3/2)²= 3/4 = 0,75.

Или:

2) △OBA – прямоугольный; BH – высота; S = OB*AB/2 и S = OA*BH/2.

Значит OB*AB = OA*BH; BH = OB*AB/OA; BH = 1*√3/2; BH²= (√3/2)²= 3/4 = 0,75.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных к окружности и свойствами подобных треугольников. Первым шагом найдем координаты точек M и N. Поскольку прямая AM проходит через центр окружности, её уравнение можно записать в виде \(y = kx\), где k - некоторый коэффициент наклона. Используя свойство касательных к окружности, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, является прямым углом. Поскольку AB - касательная, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точке B. Исходя из этого, уравнение прямой AB можно записать в виде: \[\frac{y - y_B}{x - x_B} = -\frac{1}{k},\] где \((x_B, y_B)\) - координаты точки B. Теперь применим свойство подобных треугольников для треугольников AMB и ANB. Поскольку угол AMB прямой, а угол ANB также прямой (по свойству касательных), эти треугольники подобны. Отсюда получаем: \[\frac{AB}{AN} = \frac{AM}{AB}.\] Известно, что \(AM = 1\) и \(AB = \sqrt{3}\), поэтому: \[\frac{\sqrt{3}}{AN} = \frac{1}{\sqrt{3}}.\] Отсюда находим длину AN: \[AN = \frac{\sqrt{3}}{3}.\] Теперь нам нужно найти уравнение прямой AN. Учитывая, что прямая проходит через точки A и N, уравнение прямой AN можно записать в виде: \[y - y_A = k(x - x_A),\] где \((x_A, y_A)\) - координаты точки A. Подставляя \(x_A = 0\), \(y_A = \sqrt{3}\) и \(AN = \frac{\sqrt{3}}{3}\) в уравнение, получаем: \[y - \sqrt{3} = kx.\] Теперь найдем значение k, используя уравнение прямой AB: \[\frac{y - y_B}{x - x_B} = -\frac{1}{k}.\] Подставляя \(x_B = 0\), \(y_B = \sqrt{3}\) и \(AB = \sqrt{3}\) в уравнение, получаем: \[\frac{y - \sqrt{3}}{x} = -\frac{1}{k}.\] Сравнивая это уравнение с уравнением прямой AN (\(y - \sqrt{3} = kx\)), получаем: \[-\frac{1}{k} = k.\] Решая это уравнение, находим \(k = -1\). Таким образом, уравнение прямой AN имеет вид: \[y - \sqrt{3} = -x.\] Теперь мы можем найти расстояние от точки B до прямой AN. Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(ax + by + c = 0\): \[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.\] В нашем случае \(a = -1\), \(b = 1\), \(c = -\sqrt{3}\) (уравнение прямой AN). Подставляя координаты точки B (\(x_B = 0\), \(y_B = \sqrt{3}\)), находим: \[d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.\] Таким образом, квадрат расстояния от точки B до прямой AN равен \(\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).