Question

Перпендикуляр к плоскости равен 30 см.Найти наклонную и ее проекцию на плоскость,если угол между наклонной и плоскостью равен 60 градусов.

Answer 1

Пусть наклонная проведена из точки А и пересекает плоскость в точке В, а перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость пересекает плоскость в точке С.
Тогда АС = 30см, а угол АВС = 60гр. АВ - наклонная, ВС =проекция наклонной.
ΔАВС прямоугольный (угол АСВ = 90гр).
Наклонная АВ (гипотенуза) = АС/sin60 = 30/0.5√3 = 20√3 см
Проекция наклонной (катет) ВС = АВ·сos60 = 20√3 · 0.5 = 10√3 cм

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте введем координатную систему. Пусть плоскость (P) задана уравнением и имеет нормальный вектор (N). Нормализуем вектор (N), чтобы он имел единичную длину. Пусть точка (A) на наклонной (L) и точка (B) на плоскости (P) являются точками пересечения наклонной с плоскостью, и их координаты известны. Также давайте предположим, что начало координат находится в точке (B). Теперь давайте найдем нормальный вектор (M) для наклонной (L). Для этого нам понадобится знать угол между наклонной и плоскостью, который равен 60 градусам. Мы также знаем, что нормальный вектор (N) плоскости (P) равен вектору (BM), так как векторы (N) и (BM) перпендикулярны. Сначала найдем вектор (BM), который равен вектору (B) минус вектор (M). Вектор (BM) имеет длину 30 см, так как он перпендикулярен плоскости (P). Теперь мы можем найти вектор (M) с помощью угла 60 градусов между наклонной (L) и плоскостью (P) и длины вектора (BM). Для этого мы можем использовать тригонометрию. Угол 60 градусов между векторами (BM) и (M) означает, что косинус этого угла равен отношению длины вектора (BM) к длине вектора (M): cos(60°) = 30 см / |M| Теперь мы можем решить это уравнение относительно |M|: |M| = 30 см / cos(60°) |M| = 30 см / (0.5) |M| = 60 см Теперь мы знаем длину вектора (M), который является нормальным вектором наклонной (L). Теперь давайте найдем проекцию вектора (M) на плоскость (P). Проекция вектора (M) на плоскость (P) будет вектором (MP), который перпендикулярен плоскости (P). Для нахождения вектора (MP), мы можем воспользоваться проекцией вектора (M) на вектор (N), так как вектор (N) является нормальным вектором плоскости (P). Формула для нахождения проекции вектора (M) на вектор (N) выглядит следующим образом: MP = (M • N) / |N|² * N где (M • N) - скалярное произведение векторов (M) и (N), |N| - длина вектора (N), и N - единичный нормальный вектор плоскости (P). Мы уже нашли длину вектора (M), которая равна 60 см, и у нас есть нормальный вектор (N) для плоскости (P). Поскольку вектор (N) нормализован, его длина |N| равна 1. Теперь давайте найдем скалярное произведение векторов (M) и (N): (M • N) = |M| * |N| * cos(60°) (M • N) = 60 см * 1 * 0.5 (M • N) = 30 см Теперь мы можем найти проекцию вектора (M) на плоскость (P): MP = (30 см) / (1) * N MP = 30 см * N Таким образом, проекция наклонной (L) на плоскость (P) равна 30 см * N, где N - нормальный вектор плоскости (P). Эта проекция будет иметь направление, перпендикулярное плоскости (P), и ее длина равна 30 см. Таким образом, наклонная (L) имеет длину 60 см и проекцию 30 см на плоскость (P), при угле 60 градусов между наклонной и плоскостью.