Question

1) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 3√3, а боковая грань составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите высоту пирамиды. 2) Найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 и 12 и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6. 3) Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 60, сторона основания 6. Найти высоту пирамиды. Помогите, пожалуйста

Answer 1

1) Опустим из вершины пирамиды перпендикуляр на основание. В данном случае он будет являться высотой пирамиды, которую нам нужно найти. Этот перпендикуляр "протыкает" основание пирамиды в одной точке, которая находится точно посередине основания. Проведем от этой точки перпендикуляр к стороне основания, обозначим точку пересечения за D. Длина этого перпендикуляра равна половине длины стороны основания, то есть  $\frac{3 \sqrt{3} }{2}$. 
Обозначим центр основания за A, вершину пирамиды за B. Рассмотри прямоугольный треугольник ABD. Угол ADB = 30⁰. Следовательно, Угол DBA = 60⁰. По теореме синусов:  $\frac{AD}{sin60}= \frac{DB}{sin90}$, следовательно DB= $\frac{3AD}{ \sqrt{3} }$=4,5. То есть высота равна 4.5.
Решил только 1, времени нет.

Answer 2

1) В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань составляет с плоскостью основания угол 30°. Так как пирамида правильная, то у всех боковых граней угол между боковой гранью и плоскостью основания будет одинаковым.

По условию, один такой угол равен 30°. Так как треугольник, образуемый боковой гранью, прямоугольный (угол между проекцией боковой грани и плоскостью основания равен 90°), то другой угол треугольника будет равен 60°.

Из этого можно сделать вывод, что боковая грань является равносторонним треугольником. Значит, сторона треугольника равна стороне основания пирамиды.

Так как сторона основания равна 3√3, то сторона бокового треугольника также равна 3√3.

Для нахождения высоты пирамиды можно использовать теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, в равностороннем треугольнике можно найти высоту по формуле h = √(s^2 - (s/2)^2), где s - сторона треугольника.

Подставим значения и решим уравнение:

h = √((3√3)^2 - ((3√3)/2)^2)
= √(27 - 27/4)
= √(108/4 - 27/4)
= √(81/4)
= √(81)/√(4)
= 9/2

Высота пирамиды равна 9/2.

2) Для нахождения площади полной поверхности прямого параллелепипеда нужно найти площадь всех его граней и сложить их.

Площадь грани прямоугольника можно найти по формуле S = a * b, где a и b - стороны прямоугольника.

У нас есть две грани: одна со сторонами 8 и 12, а другая со сторонами 12 и 6.

S1 = 8 * 12 = 96
S2 = 12 * 6 = 72

Теперь найдем площадь боковой грани. Для этого воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.

С учетом данного условия, сторона треугольника равна 6, так как это боковое ребро.

S3 = (6^2 * √3) / 4
= (36 * √3) / 4
= 9√3

Теперь можно найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площади всех граней:

S = S1 + S2 + 2 * S3
= 96 + 72 + 2 * 9√3
= 168 + 18√3

Ответ: площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна 168 + 18√3.

3) Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 60, а сторона основания равна 6.

В правильной четырехугольной пирамиде ребра боковых граней являются равносторонними треугольниками. Значит, сторона треугольника равна стороне основания пирамиды.

Так как сторона основания равна 6, то сторона бокового треугольника также равна 6.

Для нахождения высоты пирамиды можно использовать формулу S = (a^2 * √3) / 4, где S - площадь боковой поверхности пирамиды, a - сторона треугольника.

Подставим значения и решим уравнение:

60 = (6^2 * √3) / 4
= (36 * √3) / 4
= 9√3

Ответ: высота пирамиды равна 9√3.