Question

Напишіть рівняння сфери, центр якої лежить на осі ординат , що проходить через точки А(2;–3;2) і В(1;0;–2)

Answer 1

O(0; b; 0) - центр сфери

x² + (y - b)² + z² = R²

Скористаємось точками, які належать сфері:

А(2;–3;2): 4 + (-3 - b)² + 4 = R²

В(1;0;–2): 1 + (0 - b)² + 4 = R²

4 + (-3 - b)² + 4 = 1 + (0 - b)² + 4;

8 + (3 + b)² = 5 + b²;

(3 + b)² - b² = 5 - 8;

(3 + b - b)(3 + b + b) = -3

3(3 + 2b) = -3

3 + 2b = -3

2b = -6

b = -3

Якщо b = -3, то R² = 5 + b² = 5 + 9 = 14.

Отже, x² + (y + 3)² + z² = 14.

Answer 2

Для пошуку рівняння сфери необхідно знайти її радіус та координати центру. Центр сфери, який лежить на осі ординат, буде мати координати (0, y, 0), де y - невідоме число.

З точок А(2; –3; 2) і В(1; 0; –2) можна визначити відрізок, який проходить через центр сфери. Його середина буде координатами центру сфери.

Знаходимо координати середини відрізка:
x-координата середини: (2 + 1)/2 = 3/2
y-координата середини: (-3 + 0)/2 = -3/2
z-координата середини: (2 - 2)/2 = 0

Таким чином, координати центра сфери будуть: (0, -3/2, 0).

Радіус сфери можна знайти за допомогою відстані між центром сфери і будь-якою точкою на ній. Для цього візьмемо одну з заданих точок, наприклад А(2, -3, 2):

Відстань між двома точками можна знайти за формулою:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

d = √((2 - 0)^2 + (-3 - (-3/2))^2 + (2 - 0)^2) = √(4 + (3/2)^2 + 4) = √(4 + 9/4 + 4) = √(40/4) = √10

Радіус сфери буде √10.

Отже, рівняння сфери буде:

(x - 0)^2 + (y + 3/2)^2 + (z - 0)^2 = (√10)^2

x^2 + (y + 3/2)^2 + z^2 = 10