Question

В треугольнике ABC биссектриса угла B, пересекает сторону AC в точке D, при этом, угол ADB=углу ABC, AD=16. DC=20.Найти площадь треугольника ABC.

Answer 1

Треугольник ABD подобен треугольнику ABC по двум углам (∠BDA=∠ABC и ∠DAB - общий). Отсюда  $\frac{AD}{AB}= \frac{AB}{AC}$ или 
AB²=16×36⇔AB=24; По свойству биссектрис $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}= \frac{16}{20}$ 
Откуда BC=30; Найдем площадь по формуле Герона:  $S= \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$ ; p=(36+24+30)/2 = 45; S=405√21

Answer 2

Для начала, построим треугольник ABC, и проведем биссектрису угла B, которая пересечет сторону AC в точке D:

A / \ / \ / \ / \ B______D C

Дано, что AD = 16 и DC = 20.

Заметим, что угол ABC = угол ADB, так как биссектриса делит угол на два равных угла.

Поскольку угол ABC = угол ADB, а стороны AD и AB равны (в соответствии со свойством равнобедренного треугольника), то треугольники ABC и ADB равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне AB).

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника по формуле Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон.

Поскольку треугольники ABC и ADB равны, то их площади равны.

Для треугольника ADB: AB = AD = 16, BD = DC = 20. Полупериметр треугольника ADB будет равен:

p_ADB = (16 + 20 + 20)/2 = 28.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ADB:

S_ADB = √(28(28-16)(28-20)(28-20)) = √(28*12*8*8) = √(64*8*8) = √(2^12) = 2^6 = 64.

Так как треугольники ABC и ADB равны, площадь треугольника ABC также будет равна 64.

Итак, площадь треугольника ABC равна 64.