Question

В треугольнике ABC (AB = BC )на сторонах AB и BC равные отрезки AM и CN соответственно. Докажите, что AN=CM. Помогиииите пожааалуйста. Дам 19 баллов.

Answer 1

Треугольник АВС равнобедренный, значит и трапеция АМNC тоже равнобедренная (т.к угол А = углу С), а в равнобедренной трапеции диагонали равны

Answer 2

Для начала, построим отрезок MN. Так как AB = BC, то угол ABC = угол BAC. Также, угол BAC = угол BCN (так как AM || CN).

Теперь рассмотрим треугольники ABC и MNC. У них две пары равных углов: ABC и MNC (по условию) и углы BAC и BCN (так как они соответственные). Также, у них общая сторона BC.

Из этих двух пар равных углов и общей стороны следует, что треугольники ABC и MNC подобны по третьему признаку подобия (Угол-Угол-Угол).

Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть,

AB/AM = BC/CN

Так как AB = BC, то

1/AM = 1/CN

Теперь перенесем CN в числитель:

AN/AM = 1

Теперь возьмем обратный элемент от обеих частей равенства:

AM/AN = 1

То есть, AM = AN.

Так как AM = AN, а AB = BC, то мы можем сделать вывод, что AN = CM.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ABC, где AB = BC, и на сторонах AB и BC равные отрезки AM и CN соответственно, выполняется равенство AN = CM.