Question

доказать теорему: в равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой(НЕ КАК В ИНТЕРНЕТЕ)

Answer 1

Доказательство о том что биссектриса является высотой и медианой

Answer 2

Для доказательства данной теоремы рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC.

Проведем биссектрису из вершины A к основанию BC и обозначим точку их пересечения как D.

Теперь докажем, что AD является медианой.

Вспомним определение медианы треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Возьмем точку E на стороне BC так, чтобы AE было равно AD.

Триугольники AED и ABD равнобедренны, так как AE=AD и AB=AD (так как AB=AC).

Теперь посмотрим на треугольники AED и ABD:

1. У них равны соответствующие углы AED и ABD, так как это углы при основании равнобедренных треугольников. 2. У них равны боковые стороны AE и AD (так как мы задали их равенство). 3. У них равны основания ED и BD, так как это сторона треугольников, которая равна стороне треугольника ABC.

Из этих двух треугольников следует, что треугольники AED и ABD равны.

Так как AE и AD две медианы равных треугольников AED и ABD, то точка E также является серединой стороны BD.

Следовательно, AD является медианой треугольника ABC.

Далее докажем, что AD также является высотой треугольника ABC:

Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника и перпендикулярный к основанию треугольника.

Докажем, что AD перпендикулярна к BC.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем угол BAD является прямым углом, так как это основание треугольника ABC.

Также мы уже выяснили, что треугольники ADB и ABD равнобедренные.

Так как у равнобедренного треугольника основание биссектрисы равно основанию высоты, то получаем, что AD перпендикулярна к BC.

Таким образом, AD является и медианой, и высотой треугольника ABC.

Доказано.