Question

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований 1)Доказать, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции 2)Найти расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной делит ее на отрезки , равные 2 и 50. Распишите пожалуйста подробно!!!!!

Answer 1

Окружности будут равные, т.к. их диаметры равны, как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными основаниями трапеции))
центры окружностей расположены на биссектрисах соотв углов: CO1,  DO1, CO2, DO2
CO1 _|_ DO1 как биссектрисы углов, сумма которых = 180 градусов)))
аналогично CO2 _|_ DO2
CO2DO1 --прямоугольник, диагонали прямоугольника равны: CD=O1O2
радиус окружностей можно найти из прямоугольного треугольника, построив еще одну высоту трапеции)))
отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны)))

Answer 2

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть O1 и O2 - центры вписанной и описанной окружностей соответственно.

1) Доказательство равенства расстояния между центрами окружностей и большей боковой стороной трапеции.

Поскольку окружность, вписанная в трапецию, касается оснований, то ее центр O1 лежит на отрезке, соединяющем середины этих оснований. Обозначим середину AB как E, а BC - F. Тогда O1 лежит на прямой EF.

Окружность, касающаяся большей боковой стороны, делит ее пополам, следовательно, своим центром O2 делит отрезок EF также пополам.

Итак, O1 и O2 делят отрезок EF пополам, то есть расстояние между ними равно половине большей боковой стороны трапеции.

2) Находим расстояние от вершины прямого угла до центра второй окружности.

Пусть точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит ее на отрезки, равные 2 и 50. Обозначим эту точку как M.

Так как M - точка касания, то OM является радиусом первой окружности. Пусть этот радиус равен r1.

Также ранее мы доказали, что O1 и O2 делят отрезок EF пополам. Пусть это расстояние равно d.

Рассмотрим прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную большей боковой стороне трапеции. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком EF как N.

Очевидно, что треугольник ONF - прямоугольный (так как NF перпендикулярна EF).

По теореме Пифагора, ON^2 = OF^2 + NF^2.

Кроме того, ON = OM + MN.

Итак, у нас есть два уравнения: 1) ON^2 = OF^2 + NF^2 2) ON = OM + MN

Подставим второе уравнение в первое: (OM + MN)^2 = OF^2 + NF^2

Раскроем скобки: OM^2 + 2OM*MN + MN^2 = OF^2 + NF^2

Так как OM = r1 (так как OM - радиус первой окружности) и NF = d (так как N - середина большей боковой стороны, а O1 и O2 делят эту сторону пополам), получим: r1^2 + 2r1*MN + MN^2 = OF^2 + d^2

По условию, отрезок MN делит большую боковую сторону на отрезки, равные 2 и 50. Таким образом, MN = 50 - 2 = 48.

Подставим известные значения в уравнение: r1^2 + 2r1*48 + 48^2 = OF^2 + d^2

Найдем OF и d, OF = (r1^2 + 2r1*48 + 48^2 - d^2)^(1/2).

Таким образом, мы можем найти расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности.