Question

Помогите пожалуйста. В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник АВС со стороной, равной а. Две боковые грани ADB и CDB перпендикулярны плоскости основания. Их общее ребро тоже равно а. 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно рёбрам АC и BD. Определите вид сечения и найдите его площадь. 2. Найдите угол между гранями: 1) ADB и CDB; 2) DAC и ABC. 3. Чему равен угол между BD и гранью ADC?

Answer 1

1) найдем центр основания пирамиды - точка пересечения медиан - т.О
проведем прямую МК параллельно АС, МР и КТ параллельно ВД
точки М, Р,Т,К лежат соответственно на ребрах пирамиды  АВ, АД, СД,СВ
четырехугольник - прямоугольник, т.к.МР=ТК и МР||ТК и МР и ТК перпендикулярны плоскости АВС а значит и прямой МК
МК=2/3*а, т.к. треугольник АВС подобен треугольнику ВМК (прямая МК||АС отсекает треугольник подобный данному)и коэф подобия равен 2/3 (медианы пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины)
ВМ/ВА=ВК/ВС=2/3
треугольник ВДА подобен треуг МРА (ВД||МР)
АМ/АВ=1/3
МР=1/3*а
S(сечения)=2/3а*1/3а=2/9*а²

2)1)угол между плоскостями равен 60 градусов, т.к. угол АВС - линейный угол между плоскостями ВДА и ВДС
2)проведем ВН перпенд АС BH=√3/2*a
ДН перпендикулярна АС по теор о 3х перпендикулярах (ВД - перпендикуляр, ДН - наклонная, ВН - проекция наклонной)
угол ДНВ - линейный угол между плоскостями АВС и АСД
в прямоугольном треугольнике ВДН
tgDHB=DB/BH=a/(√3a/2)=2√3/3
DHB=arctg2√3/3

3)угол между прямой ВД и плоскостью ДАС - угол ВДН
tgВДН=√3а/2а=√3/2
ВДН=arctg√3/2

Answer 2

1. Для построения сечения пирамиды DABC параллельно рёбрам AC и BD через центр основания, давайте рассмотрим следующий шаг за шагом:

a. Найдем центр основания пирамиды. Центр основания будет находиться посередине отрезка AC, который является стороной правильного треугольника ABC. Пусть этот центр называется O.

b. Проведем линию, проходящую через центр основания O и параллельную рёбрам AC и BD. Это линия будет пересекаться с боковыми гранями ADB и CDB.

c. Сечение будет прямоугольником, так как параллельная плоскость пересекает боковые грани под прямым углом. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его длину (OD) на ширину (a), где OD - расстояние от центра основания до сечения.

2. Теперь давайте найдем углы между гранями:

a. Угол между гранями ADB и CDB: Эти две грани лежат в одной плоскости и образуют угол 180 градусов, так как они противоположны друг другу.

b. Угол между гранями DAC и ABC: Грани DAC и ABC также лежат в одной плоскости и образуют угол равный углу между сторонами треугольника ABC, который является равносторонним. Угол между ними равен 60 градусов.

3. Угол между ребром BD и гранью ADC: Этот угол также равен 60 градусов, так как ребро BD лежит в плоскости, перпендикулярной к основанию и проходящей через центр основания O, а грань ADC является боковой гранью пирамиды, лежащей в той же плоскости, что и BD. Таким образом, угол между BD и гранью ADC также равен 60 градусов.