Question

В кубе abcda1b1c1d1 на ребре dd1 выбрана точка e так, что de:ed1=1:2. Вычислите косинус угла между прямыми ae и ce. 

Answer 1

В треугольнике АСЕ АС - диагональ квадрата в основании, и

АС^2 = 2; (длина ребра куба принята за 1)

АЕ = СЕ,

и

АЕ^2 = AD^2 + DE^2 = 1 + (1/3)^2 = 10/9;

Если обозначить косинус угла АЕС (который и надо найти) за  х, то

по теореме косинусов для треугольника АЕС

АС^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*x = 2*AE^2*(1 - x);

2 = 2*(10/9)*(1 - x);

x = 1/9;

 

Я добавлю глубокомысленное замечание. 

Обратите внимание на технику решения - я не записал по ходу ни одного корня. Это, конечно, мелочь, но именно в таких мелочах и путаются обычно.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства куба и знания о косинусе угла между двумя прямыми.

1. Построим куб ABCDA1B1C1D1 с ребром DD1 и выберем точку E на ребре DD1 так, что DE:ED1 = 1:2.

2. Обозначим координаты точек следующим образом: - A (0, 0, 0) - B (1, 0, 0) - C (1, 1, 0) - D (0, 1, 0) - A1 (0, 0, 1) - B1 (1, 0, 1) - C1 (1, 1, 1) - D1 (0, 1, 1) - E (1, 0, t), где 0 <= t <= 1

3. Для нахождения координаты точки E, используем отношение DE:ED1 = 1:2. Так как точка D имеет координаты (0, 1, 0), а точка D1 имеет координаты (0, 1, 1), то координата y точки E будет равна 1/3. Таким образом, координаты точки E будут (1, 0, 1/3).

4. Найдем векторы AE и CE: - Вектор AE = E - A = (1, 0, 1/3) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1/3) - Вектор CE = E - C = (1, 0, 1/3) - (1, 1, 0) = (0, -1, 1/3)

5. Найдем скалярное произведение векторов AE и CE: - AE * CE = (1, 0, 1/3) * (0, -1, 1/3) = 1 * 0 + 0 * (-1) + 1/3 * 1/3 = 1/9

6. Найдем длины векторов AE и CE: - |AE| = sqrt(1^2 + 0^2 + 1/3^2) = sqrt(1 + 0 + 1/9) = sqrt(10/9) = sqrt(10) / 3 - |CE| = sqrt(0^2 + (-1)^2 + 1/3^2) = sqrt(0 + 1 + 1/9) = sqrt(10/9) = sqrt(10) / 3

7. Найдем косинус угла между прямыми AE и CE по формуле: - cos(theta) = (AE * CE) / (|AE| * |CE|) = (1/9) / ((sqrt(10) / 3) * (sqrt(10) / 3)) = (1/9) / (10/9) = 1/10

Таким образом, косинус угла между прямыми AE и CE равен 1/10.