Question

Сторони трикутника АВС продовжено так, що АВ=ВА', ВС=СВ', СА=АС'. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо площа трикутника А'В'С' дорівнює S

Answer 1

Ответ:

Позначимо точку перетину медіан трикутника АВС через М.

За властивостями медіан трикутника:

AM:MB = AS:SС = 1:2

BM:MC = BV:VC = 1:2

CM:MA = CW:WA = 1:2

Звідси AM = BM = CM = 2/3 ММ'

Розглянемо трикутник AMM'. Він є півтрикутником, бо медіана АМ є його висотою, а відрізок MM' ділить його на дві рівні частини.

Довжина AM дорівнює 2/3 довжини медіани трикутника АВС, тобто

AM = 2/3 * 2/3 * AA' = 4/9 AA'

Аналогічно, BM = 4/9 BB', CM = 4/9 CC'

Запишемо формулу для площі трикутника АВС через довжини медіан:

S = 3/4 * (MA * MB * MC)^0.5

Підставимо в неї знайдені довжини медіан:

S = 3/4 * (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5

Оскільки площа трикутника А'В'С' дорівнює S, то

S' = 3/4 * (AA' * B'B * CC')^0.5

Поділимо обидві формули одна на одну:

S/S' = (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5 / (AA' * BB' * CC')^0.5

S/S' = (8/27) ^0.5 = 4/9

Звідси

S = 4/9 * S'

Відповідь: площа трикутника АВС дорівнює 4/9 від площі трикутника А'В'С'.

Answer 2

Для знаходження площі трикутника АВС, ми можемо скористатися формулою площі трикутника, яка використовує довжини його сторін та синус кута між ними. Однак, у даному випадку ми не маємо інформації про кути трикутника АВС. Тому, ми повинні знайти інші способи для знаходження площі трикутника.

Застосування формули Герона

Один з способів знаходження площі трикутника, коли відомі довжини його сторін, - це застосування формули Герона. Формула Герона виглядає наступним чином:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

де S - площа трикутника, a, b, c - довжини сторін трикутника, p - півпериметр трикутника, обчислюється за формулою:

p = (a + b + c) / 2

У нашому випадку, ми маємо додаткову інформацію про продовження сторін трикутника АВС, а саме: АВ = ВА', ВС = СВ', СА = АС'. Оскільки сторони трикутника АВС продовжено, ми можемо скласти новий трикутник А'В'С', який має такі ж довжини сторін, як і продовжені сторони трикутника АВС.

Таким чином, площа трикутника А'В'С' дорівнює S.

Застосування формули Герона для трикутника А'В'С'

Застосуємо формулу Герона для знаходження площі трикутника А'В'С'. Враховуючи, що довжини сторін трикутника А'В'С' дорівнюють довжинам продовжених сторін трикутника АВС, ми отримуємо:

S = sqrt(p' * (p' - a') * (p' - b') * (p' - c'))

де S - площа трикутника А'В'С', a', b', c' - довжини сторін трикутника А'В'С', p' - півпериметр трикутника А'В'С', обчислюється за формулою:

p' = (a' + b' + c') / 2

Оскільки довжини сторін трикутника А'В'С' дорівнюють довжинам продовжених сторін трикутника АВС, ми можемо записати:

a' = АВ, b' = ВС, c' = СА

Таким чином, формула для знаходження площі трикутника А'В'С' стає:

S = sqrt(p' * (p' - АВ) * (p' - ВС) * (p' - СА))

Знаходження площі трикутника АВС

Оскільки площа трикутника А'В'С' дорівнює S, ми можемо записати:

S = sqrt(p' * (p' - АВ) * (p' - ВС) * (p' - СА))

Таким чином, площа трикутника АВС дорівнює площі трикутника А'В'С', тобто:

Площа трикутника АВС = S

Будь ласка, надайте значення S, щоб я міг обчислити площу трикутника АВС.