Question

В основании правильной четырех угольной призмы лежит квадрат со стороной 8см, диагональ призмы образуется с плоскостью основания угол 45° найти:диагональ основания призмы диагональ призмывысоту призмы Sбок.S полн. поверх.V призмы

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• $a$ - сторона квадрата основания призмы,
• $d_1$ - диагональ основания призмы,
• $d_2$ - диагональ призмы,
• $h$ - высота призмы.

Сначала найдем диагональ основания призмы ($d_1$). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$ (сторона квадрата), диагональ $d_1$ будет равна:

$d_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

В данном случае, $a = 8 \, \text{см}$, поэтому $d_1 = 8\sqrt{2} \, \text{см}$.

Теперь, зная, что угол между диагональю призмы и плоскостью основания составляет $45^\circ$, мы можем использовать тригонометрию. Пусть $d_2$ - диагональ призмы. Тогда:

$d_2 = \frac{d_1}{\cos(45^\circ)} = \frac{8\sqrt{2}}{\cos(45^\circ)}$

Теперь найдем высоту призмы ($h$). В треугольнике, образованном диагональю призмы, высотой призмы и половиной длины стороны основания, у нас есть следующее соотношение:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}$

Решим это уравнение относительно $h$:

$h = \frac{a}{2} \tan(45^\circ)$

Теперь мы можем найти боковую поверхность призмы ($S_{\text{бок}}$). Поскольку боковая поверхность призмы представляет собой четыре треугольника, площадь одного из которых равна $S_{\text{бок\_треуг}} = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot h$, то:

$S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{бок\_треуг}}$

Наконец, полная поверхность призмы ($S_{\text{полн. поверх}}$) равна сумме площади основания и боковой поверхности:

$S_{\text{полн. поверх}} = S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок}}$

Где $S_{\text{осн.}}$ - площадь основания, равная стороне квадрата, возведенной в квадрат:

$S_{\text{осн.}} = a^2$

И, наконец, объем призмы ($V$) определяется как произведение площади основания на высоту:

$V = S_{\text{осн.}} \cdot h$

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнения для получения ответов.