Question

Через точку Р диаметра данной окружности проведена хорда АВ, образует с диаметром угол 60°. Вычислить радиус окружности, если АР=а и ВР=b

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности равен $\displaystyle \bf \sqrt{b^2-ab+b^2}$.

Объяснение:

Через точку Р диаметра данной окружности проведена хорда АВ, образует с диаметром угол 60°. Вычислить радиус окружности, если АР = а и ВР = b.

Дано: Окр.О,R;

AB - хорда; МК - диаметр;

АВ ∩ МК = Р;

АР = а; ВР = b; ∠АРК = 60°.

Найти: R.

Решение:

Проведем радиус ОН ⊥ АВ.

1. ОН ⊥ АВ.

• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.

⇒ ВЕ = АЕ

АВ = АР + ВР = a + b

⇒  $\displaystyle \bf BE = AE = \frac{a+b}{2}$      

Тогда

$\displaystyle \bf EP = AE-AP=\frac{a+b}{2}-a=\frac{a+b-2a}{2} =\frac{b-a}{2}$

2. Рассмотрим   ΔЕОР - прямоугольный.

• Вертикальные углы равны.

⇒ ∠АРК = ∠ ОРЕ = 60°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ЕОР = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ ОР = 2· ЕР = b - a

3. МО = ОК = R

MP = MO + OP = R + (b - a)

PK = OK - OP = R - (b - a)

• Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды.

AP · PB = PK · MP

a · b = (R - (b - a)) · (R + (b - a)) = R² - (b - a)²

R² = ab + (b - a)² = ab + b² - 2ab + a²

R² = b² - ab + a²

$\displaystyle \bf R=\sqrt{b^2-ab+b^2}$

Радиус окружности равен $\displaystyle \bf \sqrt{b^2-ab+b^2}$.

#SPJ5

Answer 2

Давайте обозначим радиус окружности как R. Мы знаем, что угол между хордой AB и диаметром RD составляет 60 градусов. Это означает, что треугольник RAB является равносторонним треугольником (все его углы равны 60 градусов), и AB равно 2R (диаметр окружности).

Теперь давайте рассмотрим треугольники ARP и BRP. У нас есть следующие данные:

AP = a BP = b AB = 2R

Теперь мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины AB (2R) через стороны AP и BP и угол между ними (60 градусов):

(2R)^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(60°)

Угол 60 градусов в радианах равен π/3. Так что у нас есть:

4R^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(π/3)

Теперь мы знаем, что cos(π/3) равен 0,5. Подставим это значение:

4R^2 = a^2 + b^2 - 2ab * 0,5

4R^2 = a^2 + b^2 - ab

Теперь мы можем выразить R:

4R^2 = a^2 + b^2 - ab

R^2 = (a^2 + b^2 - ab) / 4

R = √((a^2 + b^2 - ab) / 4)

Таким образом, радиус окружности равен:

R = √((a^2 + b^2 - ab) / 4)