Question

В основании пирамиды прямоугольный треугольник с гипотенузой a, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол \beta. Найти основание пирамиды.

Answer 1

Совершенно не важна величина угла боковой грани к основанию, важно то, что для все трёх боковых сторон этот угол одинаков.
От точек касания вписанной окружности сторон треугольника к вершине пирамиды построим апофемы. Поскольку для каждой из боковых граней угол между апофемой и плоскостью основания один и тот же, поскольку у всех трёх апофем общая вершина и, следовательно, одинаковая проекция апофемы на плоскость основания - то расстояние от сторон треугольника до проекции вершины пирамиды на плоскость основания одно и то же и
И тогда вершина пирамиды лежит над центром вписанной в основание окружности.
И тогда треугольник в основании - равнобедренный.
и тогда его стороны равны a√2, a√2, a

Answer 2

Для нахождения основания пирамиды, нам нужно рассмотреть геометрию пирамиды более подробно. В этой задаче у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой a, и каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол β.

Давайте обозначим основание пирамиды как ABCD, где A, B, C - вершины треугольника на основании, а D - вершина пирамиды. Мы можем рассмотреть правильный треугольник ABD, который образуется проекцией бокового ребра пирамиды на плоскость основания.

В этом треугольнике у нас есть гипотенуза (сторона AB) равная a и один из острых углов (угол ABD) равный β. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения других сторон и углов треугольника ABD.

Сначала найдем сторону BD, которая является высотой пирамиды:

BD = AB * sin(β)

Теперь нам нужно найти сторону AD, которая соответствует высоте пирамиды. Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABD:

AD^2 = AB^2 + BD^2

AD^2 = a^2 + (AB * sin(β))^2

AD = √(a^2 + a^2 * sin^2(β))

AD = a * √(1 + sin^2(β))

Теперь у нас есть сторона AD, которая является высотой пирамиды. Основание пирамиды (прямоугольник ABCD) имеет форму прямоугольника, и его площадь можно найти, умножив сторону AB на сторону AD:

Площадь основания = AB * AD = a * a * √(1 + sin^2(β))

Таким образом, основание пирамиды равно a * a * √(1 + sin^2(β)).