Question

Стороны основания прямого параллелепипеда 3 и 5 угол между ними 120 Найдите боковое ребро и меньшую диагональ параллелепипеда если его большая диагональ 65

Answer 1

Тупой угол в основании 120, значит, острый 60 градусов.
Длина большой диагонали основания по теореме косинусов.
d1^2=a^2+b^2-2ab*cos 120=9+25-2*3*5(-1/2)=34+15=49
d1=7.
Длина малой диагонали
d2^2=a^2+b^2-2ab*cos 60=9+25-2*3*5*1/2=34-15=19
d2=√19
Большая диагональ пар-педа D1=65.
Высота (она же боковое ребро).
H=√(D1^2-d1^2)=√(4225-49)=√4176=12√29
Малая диагональ пар-педа
D2=√(H^2+d2^2)=√(4176+19)=√4195
Посчитано в уме!

Answer 2

Для решения этой задачи, можно воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим боковое ребро через $a$ и меньшую диагональ через $d$.

Так как большая диагональ равна 65, то в параллелепипеде справедливо следующее соотношение:

$d^2 = a^2 + (3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ))$

Для начала вычислим косинус 120 градусов:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$65^2 = a^2 + (9 + 25 + 30) = a^2 + 64$

Теперь решим уравнение относительно $a$:

$65^2 - 64 = a^2$

$a^2 = 4224$

$a = \sqrt{4224} = 64$

Таким образом, боковое ребро параллелепипеда равно 64.

Чтобы найти меньшую диагональ, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами 3, 5 и меньшей диагональю $d$:

$d^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

$d = \sqrt{34}$

Таким образом, меньшая диагональ равна $\sqrt{34}$.