Question

на стороне треугольника АВС отмечена точка D, прямая СD перпендикулярна к медиане АМ, АD:DВ=3:1. AC=3. угол С=60, Найдите ВС

Answer 1

Пусть P - точка пересечения AM  и CD; и пусть BP пересекает AC в точке Q;
тогда из теоремы Чевы сразу следует
AQ/QC = AD/DB = 3;
из теоремы Ван-Обеля (следствие теоремы Чевы)
AP/PM = AD/DB + AQ/QC = 6;
Получилось, что в треугольнике CAM 1) угол С = 60°; 2) высота CP делит сторону AM на отрезки в отношении 6:1; 3) AC = 3; этого достаточно, чтобы решить задачу.
Если для краткости записи обозначить CP = h; MP = z; MC = y; AC = a = 3; то легко записать очевидные соотношения
y^2 = z^2 + h^2;
a^2 = (6*z)^2 + h^2;
(7*z)^2 = y^2 + a^2 - a*y; (это просто теорема косинусов, косинус 60° равен 1/2; напоминаю, что a = 3)
вычитая из второго уравнения первое, легко найти
a^2 - y^2 = 35*z^2;
остается исключить z, подставить a = 3; и получится квадратное уравнение для y; напомню, что ВС = 2*y;
(y^2 + a^2 - a*y)/49 = (a^2 - y^2)/35;
5*y^2 + 5*a^2 - 5*a*y = 7*a^2 - 7*y^2;
12*y^2 - 2*a^2 - 5*a*y = 0;
12y^2 - 15*y - 18 = 0; или BC^2 - (5/2)*BC - 6 = 0;
BC = 5/4 + √((5/4)^2 + 6) = (5 + √(25 + 16*6))/4 = (5 + 11)/4 = 4; (второй корень отпадает)

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

У нас есть треугольник ABC, где AC = 3 и угол C = 60 градусов. Точка D находится на стороне треугольника AB, и прямая CD перпендикулярна к медиане AM, причем AD:DB = 3:1.

1. Начнем с поиска медианы AM. Медиана - это отрезок, который соединяет вершину треугольника (в данном случае точку C) с серединой противоположной стороны (точкой M). Поскольку треугольник ABC равносторонний (угол C = 60 градусов), медиана AM также будет высотой, делящей треугольник на два равных треугольника.

2. Поскольку угол C = 60 градусов, у нас есть равносторонний треугольник, и все его стороны равны. Таким образом, AC = BC = 3.

3. Поскольку AM - медиана и высота, то AM делит треугольник ABC на два равных треугольника, и AM будет равна половине стороны AB. Из соотношения AD:DB = 3:1 следует, что AM = 3 * AD.

4. Теперь мы знаем, что AM = 3 * AD и AC = 3. Мы также знаем, что треугольник ACB - это равносторонний треугольник, поэтому сторона CB = 3.

5. Так как AM является медианой и делит сторону AB пополам, то AB = 2 * AM = 2 * 3 * AD = 6 * AD.

6. Теперь у нас есть два треугольника, ADC и CDB. В треугольнике ADC у нас есть прямой угол при точке D (поскольку CD перпендикулярна к AM), и мы знаем, что AD:DB = 3:1.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти сторону CD в треугольнике ADC:

(AD)^2 + (CD)^2 = (AC)^2 (3AD)^2 + (CD)^2 = 3^2 9(AD)^2 + (CD)^2 = 9 (CD)^2 = 9 - 9(AD)^2 (CD)^2 = 9(1 - (AD)^2) CD = √[9(1 - (AD)^2)]

Теперь мы можем подставить значение AD:

CD = √[9(1 - (3/6)^2)] CD = √[9(1 - 1/4)] CD = √[9(3/4)] CD = √(27/4) CD = (3/2)√3

Таким образом, длина стороны CD равна (3/2)√3.