Question

1) Найдите расстояние от точки S к плоскости прямоугольного треугольника ABC ( угол С = 90 ) если расстояние от точки S к каждой вершине треугольника равна 13 см, AC=6 cм, BC=8 cм. 2) Сторона правильного треугольника ABC = 12 cм, т S размещена на одинаковом расстоянии от каждой вершины даного треугольника. Найти расстояние от точки S до плоскости ABC если SA= 8 см.

Answer 1

1) Т к расстояние от точки S до каждой вершины треугольника равны между собой, то около этого, прямоугольного треугольника  описана окружность (его гипотенуза является диаметром этой окружности) и высота проведена к середине гипотенузы.
Тогда ASO прямоугольный треугольник с катетом AO= 5 см и гипотенузой AS= 13 см Искомое расстояние SO = √(13²-5²)=12 см.
  
2) Расстояние от точки S до плоскости ABC равно высоте SO, где О точка пересечения медиан. Из треугольника АSO: SO=√(AS²-AO²); AS=8 cм,  AO=2/3AA1, где АА1 медиана треугольника. АО=2/3*(12√3)/2=4√3;
SO=√(64-48)=4см. 

Answer 2

1. Чтобы найти расстояние от точки S до плоскости прямоугольного треугольника ABC, можно воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

$d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},$

где (x, y, z) - координаты точки S, а A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, определенные по вершинам треугольника ABC.

Для начала, найдем уравнение плоскости ABC. Мы знаем, что точка C находится в начале координат (0, 0, 0), а точки A и B имеют координаты (6, 0, 0) и (0, 8, 0) соответственно, так как треугольник ABC находится в плоскости XY.

Уравнение плоскости можно найти используя векторное произведение векторов AB и AC:

$n = AB \times AC,$

где n - вектор нормали к плоскости, а AB и AC - векторы, соединяющие вершины треугольника. В данном случае:

AB = (6, 8, 0) - (0, 0, 0) = (6, 8, 0), AC = (0, 8, 0) - (0, 0, 0) = (0, 8, 0).

Теперь найдем вектор нормали:

$n = AB \times AC = (6, 8, 0) \times (0, 8, 0) = (0, 0, -48).$

Теперь у нас есть вектор нормали n. Для того чтобы найти D, мы можем воспользоваться координатами точки C, которая находится в начале координат. Таким образом, D = 0.

Теперь мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|0x + 0y - 48z + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + (-48)^2}} = \frac{48|z|}{48} = |z|.$

Мы знаем, что расстояние от точки S до каждой вершины треугольника равно 13 см, поэтому |z| = 13 см. Таким образом, расстояние от точки S до плоскости ABC равно 13 см.

2. Для нахождения расстояния от точки S до плоскости правильного треугольника ABC, если SA = 8 см, можно воспользоваться той же формулой для расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},$

где (x, y, z) - координаты точки S, A, B и C - координаты вершин треугольника, а A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, определенные по вершинам треугольника.

Для правильного треугольника ABC с стороной 12 см, вершины A, B и C могут быть заданы следующими координатами:

A(6, 0, 0) - это середина стороны BC, B(0, 0, 0) - это вершина треугольника, C(3, 3√3, 0) - это середина стороны AB.

Теперь нам нужно найти уравнение плоскости ABC, используя координаты вершин.

1. Найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (0, 0, 0) - (6, 0, 0) = (-6, 0, 0), AC = C - A = (3, 3√3, 0) - (6, 0, 0) = (-3, 3√3, 0).

2. Теперь найдем вектор нормали к плоскости ABC, который будет равен векторному произведению векторов AB и AC:

$n = AB \times AC = (-6, 0, 0) × (-3, 3√3, 0).$

Вычислим векторное произведение:

$n = (0, 0, 6√3) = (0, 0, 2√3).$

3. Теперь найдем D, который равно произведению вектора нормали на координаты одной из вершин треугольника, например, вершины B:

D = n · B = (0, 0, 2√3) · (0, 0, 0) = 0.

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки S до плоскости ABC:

$d = \frac{|0x + 0y + 2√3z + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + (2√3)^2}} = \frac{|2√3z|}{2√3} = |z|.$

Мы знаем, что расстояние от точки S до вершины A треугольника равно 8 см, поэтому |z| = 8 см. Таким образом, расстояние от точки S до плоскости ABC также равно 8 см.