Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=-x^3-3x^2+9x-2 на отрезке [-2;2]

Answer 1

Ну для начала находим производную данной функции,  y`=3x^2-6x+9. Теперь приравниваем производную к нулю и находим точки, так как в данном уравнении дискриминант отрицательный и корней не существует, подставляем в первое уравнение границы и получаем точки максимума и минимума, т.е y(-2)= (-2)^3-3(-2)^2+9(-2)-2=40 это точка минимума, а точка максимума y=8-3*4+9*2-2=12

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y=-x^3-3x^2+9x-2 на отрезке [-2;2], сначала найдем значения функции на концах отрезка, а затем найдем точки экстремума.

1. Найдем значения функции на концах отрезка: - Подставим x = -2: y = -(-2)^3 - 3(-2)^2 + 9(-2) - 2 = -8 - 12 - 18 - 2 = -40. - Подставим x = 2: y = -(2)^3 - 3(2)^2 + 9(2) - 2 = -8 - 12 + 18 - 2 = -4.

Таким образом, на концах отрезка функция принимает значения -40 и -4.

2. Найдем точки экстремума функции: Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y' = -3x^2 - 6x + 9. -3x^2 - 6x + 9 = 0. Путем решения квадратного уравнения получаем два значения: x1 = -1 + √7 ≈ 1.646, x2 = -1 - √7 ≈ -3.646.

Чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом, проанализируем вторую производную функции: y'' = -6x - 6.

Подставим значения x1 и x2 во вторую производную: y''(x1) = -6(1.646) - 6 ≈ -16.876, y''(x2) = -6(-3.646) - 6 ≈ 14.876.

- Если y''(x) > 0, то точка является точкой минимума. - Если y''(x) < 0, то точка является точкой максимума.

Таким образом, точка (-3.646, f(-3.646)) является точкой максимума, а точка (1.646, f(1.646)) - точкой минимума.

3. Найдем значения функции в точках экстремума: - Подставим x = -3.646: y = -(-3.646)^3 - 3(-3.646)^2 + 9(-3.646) - 2 ≈ -17.644. - Подставим x = 1.646: y = -(1.646)^3 - 3(1.646)^2 + 9(1.646) - 2 ≈ -15.356.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [2;2] равно -4 и достигается в точке (-2, -40), наименьшее значение -17.644 и достигается в точке (-3.646, -17.644).