Question

Докажите, что это возможно с четными плитками, что можно покрыть плиткой пол так, что любая платформа, являющаяся частью плоскости, будет полностью покрыта.

Answer 1

Ответ:

.............

Объяснение:

Для доказательства этого утверждения воспользуемся доказательством по индукции.

1) Базовый шаг:

Если площадь платформы составляет 1x1, то она полностью покрыта одной четной плиткой размером 2x2.

2) Шаг индукции:

Предположим, что для платформы размером n x n (где n - четное) справедливо утверждение, что она может быть полностью покрыта четными плитками.

3) Индукционный переход:

Рассмотрим платформу размером (n+2) x (n+2). Мы можем представить ее как платформу размером n x n с недостающими угловыми плитками 2 x 2 в каждом углу и с четырьмя плитками 2 x (n+2) на каждой стороне.

По предположению индукции, платформу n x n мы можем полностью покрыть четными плитками. Затем мы добавляем угловые плитки 2 x 2 в каждом углу. После этого мы можем добавить по две плитки 2 x (n+2) на каждой стороне, что позволит полностью покрыть новый участок.

Таким образом, мы доказали, что платформу размером (n+2) x (n+2) также можно полностью покрыть четными плитками.

Исходя из базового шага и шага индукции, мы доказали, что все платформы размером n x n (где n - четное) можно полностью покрыть четными плитками.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что можно покрыть пол четными плитками таким образом, что любая платформа на полу будет полностью покрыта, давайте воспользуемся методом индукции.

Базовый случай: Рассмотрим самый простой случай - одну четную плитку размером 2x2. Очевидно, что она полностью покрывает любую платформу, состоящую из одной или двух ячеек.

Предположение индукции: Предположим, что мы можем покрыть любую платформу размером 2k x 2k, где k - натуральное число, с использованием четных плиток.

Индукционный переход: Рассмотрим платформу размером (2k + 2) x (2k + 2). По предположению индукции, мы можем покрыть платформы размером 2k x 2k. Теперь добавим к этой платформе две строки и два столбца с каждой стороны.

Мы можем взять 2x2 плитку и разместить ее в верхнем левом углу добавленных строк и столбцов. Теперь у нас остается платформа размером 2k x 2k, которую мы можем полностью покрыть согласно предположению индукции.

Таким образом, мы доказали, что если мы можем покрыть платформу размером 2k x 2k, то мы можем покрыть и платформу размером (2k + 2) x (2k + 2).

Исходя из базового случая и индукционного перехода, мы можем заключить, что любую четную платформу можно покрыть четными плитками так, чтобы она была полностью покрыта.