Question

дан четырехугольник abcd известно что окружности вписанные в треугольник авс и асд,касаются.Докажите,что четырехугольник АВСД описанный

Answer 1

Cмотрите рисунок.

Используя свойство равенств отрезков касательных имеем:

BC+AD = d+a+c+b

AB+CD = c+d+a+b

BC+AD = AB+CD →  четырехугольник удовлетворяет необходимому и достаточному условию вписываемости в него окружности, другими словами, в него можно вписать окружность.

ЧТД

Answer 2

Для доказательства, что четырехугольник ABCD описанный (описанный четырехугольник означает, что его вершины лежат на окружности), мы можем использовать следующее утверждение:

Если две окружности вписаны в треугольник так, что обе касаются общей стороны и стороны продолжения этой общей стороны, то четырехугольник, образованный вершинами этого треугольника и точками касания окружностей, является описанным.

В данном случае треугольник АВС имеет две вписанные окружности, вписанные в него. Давайте обозначим их как окружность O1 (вписанная в треугольник АВС) и окружность O2 (вписанная в треугольник АCD). Эти окружности касаются общей стороны AC и продолжения этой стороны. Следовательно, описанный четырехугольник ABCD образован вершинами треугольника АВС и точками касания окружностей O1 и O2.

Таким образом, четырехугольник ABCD является описанным вокруг окружности с центром в точке C.