Question

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом 30° і протилежним йому катетом, що дорівнює 30 см. Бічні ребра нахи¬лені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди.

Answer 1

Ответ:

30√3 cм

Решение:

∠ С = 90°, АВ - гіпотенуза, ∠ВАС = 30°, ВС = 30 см

ВС = 1/2 АВ (власт. катета, що лежить проти кута 30°) ⇒ АВ = 2*30 = 60 (см)

Оскільки всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60°, то висота проектується в центр кола, описаного навколо трикутника АСВ, а оскільки Δ АВС - прямокутний, то т. О - середина гіпотенузи (АО=ОВ)

АО = 60/2 = 30 см.

ΔАОS - прямок.,  tg ∠SAO = SO/AO  ⇒  SO = 30*√3=30√3 cм

Answer 2

Спочатку нам потрібно знайти довжину протилежного катета прямокутного трикутника за допомогою тригонометричних функцій синус і косинус.

Даний кут прямокутного трикутника дорівнює 30°, і протилежний катет дорівнює 30 см. Використовуючи тригонометричні відношення, ми можемо знайти інший катет:

\[ \sin(30°) = \frac{{\text{{протилежний катет}}}}{{\text{{гіпотенуза}}}} \]

Знаючи, що протилежний катет = 30 см і \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), можна обчислити гіпотенузу:

\[ \text{{гіпотенуза}} = 2 \times 30 \text{{ см}} = 60 \text{{ см}} \]

Тепер ми можемо знайти висоту піраміди, використовуючи трикутник прямокутника та тригонометричні функції:

\[ \cos(30°) = \frac{{\text{{прилеглий катет}}}}{{\text{{гіпотенуза}}}} \]

Знаючи, що гіпотенуза = 60 см і \(\cos(30°) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\), можна обчислити прилеглий катет:

\[ \text{{прилеглий катет}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \times 60 \text{{ см}} = 30\sqrt{3} \text{{ см}} \]

Тепер, ми можемо застосувати теорему Піфагора для знаходження висоти піраміди:

\[ \text{{Висота}} = \sqrt{{\text{{гіпотенуза}}^2 - \text{{прилеглий катет}}^2}} \]

\[ \text{{Висота}} = \sqrt{{60^2 - (30\sqrt{3})^2}} \]

\[ \text{{Висота}} = \sqrt{{3600 - 2700}} \]

\[ \text{{Висота}} = \sqrt{{900}} \]

\[ \text{{Висота}} = 30 \text{{ см}} \]

Отже, висота піраміди дорівнює 30 см.