Question

50 балов срочно! Дан треугольник ABC. На продолжениях стороны AB за точку B, стороны BC за точку C и стороны CA за точку A отмечены соответственно точки A1, B1 и C1 так, что AB = BC1, BC = CA1, CA=AB1. Докажите , что отношение площадей ABC и A1B1C1 равно 1:7

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дан треугольник ABC. На продолжениях стороны AB за точку B, стороны BC за точку C и стороны CA

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать площади треугольников и отношение их площадей.

Обозначим площади треугольников ABC и A1B1C1 как S(ABC) и S(A1B1C1) соответственно.

Из условия задачи известно, что AB = BC1, BC = CA1 и CA = AB1. Это означает, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны друг другу, и соответственные стороны этих треугольников пропорциональны. Поэтому отношение площадей треугольников ABC и A1B1C1 равно квадрату отношения длин соответственных сторон.

Мы знаем, что AB = BC1, BC = CA1 и CA = AB1. Таким образом, соотношения сторон треугольников ABC и A1B1C1 можно записать как:

$\frac{AB}{A1B1} = \frac{BC}{B1C1} = \frac{CA}{C1A1}$

Теперь отношение площадей S(ABC) и S(A1B1C1) будет равно квадрату этого отношения:

$\frac{S(ABC)}{S(A1B1C1)} = \left(\frac{AB}{A1B1}\right)^2$

Так как AB = BC1, мы можем записать это как:

$\frac{S(ABC)}{S(A1B1C1)} = \left(\frac{BC1}{A1B1}\right)^2$

Нам также известно, что отношение сторон треугольников ABC и A1B1C1 равно 1:1, так как треугольники подобны. Это означает, что BC1 = A1B1. Подставим это значение в наше уравнение:

$\frac{S(ABC)}{S(A1B1C1)} = \left(\frac{A1B1}{A1B1}\right)^2 = 1^2 = 1$

Таким образом, отношение площадей треугольников ABC и A1B1C1 равно 1:1.