Question

[UKR] Із зовнішньої точки А до кола проведено дотичну АВ і січну АСD. AC:АВ=2:3. Площа трикутника ABC дорівнює 20. Знайдіть площу трикутника АВD.[RUS]С внешней точки А в круг проведения касательную АВ и сечение АСD. AC:АВ = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника АВD.(8-9 клас, можна українською або російською)

Answer 1

[RUS] Из внешней точки А к

окружности проведены касательная АВ и секущая АСD. AC:АВ = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника АВD.

Ответ: S(ABD) = 45.

Объяснение:

обозначим AC=2х; АВ=3х.

Теорема: квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. АВ^2 = AD*AC

(3x)^2 = AD*2x

AD = 4.5x

Известно: площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания.

S(ABC) : S(ABD) = AC : AD

20 : S(ABD) = (2x) : (4.5x)

S(ABD) = 20*4.5/2 = 45

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку ми можемо визначити довжини сторін трикутника ABC, а потім використовувати їх для обчислення площі трикутника AVD.

За умовою задачі відомо, що AC:AB = 2:3. Позначимо довжину AC через 2x і довжину AB через 3x. Тоді ми можемо записати:

AC = 2x AB = 3x

Далі, нам відомо, що площа трикутника ABC дорівнює 20. Ми можемо використовувати формулу для обчислення площі трикутника:

Площа трикутника = (1/2) * основа * висота

У трикутнику ABC основою є сторона AB, а висотою є відстань від точки A до сторони BC. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABC:

(BC)^2 = (AB)^2 - (AC)^2 (BC)^2 = (3x)^2 - (2x)^2 (BC)^2 = 9x^2 - 4x^2 (BC)^2 = 5x^2

Отже, BC = √(5x^2)

Тепер ми можемо обчислити площу трикутника ABC:

Площа ABC = (1/2) * AB * BC Площа ABC = (1/2) * 3x * √(5x^2)

За умовою задачі, площа ABC = 20:

20 = (1/2) * 3x * √(5x^2)

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для x:

40 = 3x * √(5x^2)

(√(5x^2)) = 40 / (3x)

5x^2 = (40 / (3x))^2

5x^2 = (1600 / (9x^2))

5x^2 * 9x^2 = 1600

45x^4 = 1600

x^4 = 1600 / 45

x^4 = 1600 / 45

x^4 = 800 / 45

x^2 = 800 / (45 * 2)

x^2 = 400 / 45

x^2 = 80 / 9

x = √(80 / 9)

x = √(80) / √9

x = (4√5) / 3

Тепер, коли ми знаємо значення x, ми можемо обчислити сторони AC і AB:

AC = 2x = 2 * (4√5) / 3 = (8√5) / 3 AB = 3x = 3 * (4√5) / 3 = 4√5

Тепер, коли у нас є довжини сторін трикутника AVD (AB і AD), ми можемо обчислити площу трикутника AVD. Трикутник AVD - прямокутний трикутник, оскільки AD - дотична до кола, і відомо, що дотична до кола перпендикулярна до радіусу в точці дотику. Тобто, кут DAV прямий кут.

Площа прямокутного трикутника дорівнює:

Площа AVD = (1/2) * AB * AD

Площа AVD = (1/2) * 4√5 * (8√5 / 3)

Площа AVD = (1/2) * (32 * 5) / 3

Площа AVD = (160 / 3)

Отже, площа трикутника AVD дорівнює 160/3.