Question

На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка K, причём AK=15, BK=3. Через точку K проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC. а) Докажите, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α, если высота пирамиды равна 13.

Answer 1

a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)

KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.

SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.

LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH

Рассмотрим плоскость AST.

LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).

AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.

AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.

Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.

ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH

То есть плоскость делит высоту пополам.

б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.

ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит AL:AS=LU:ST=6:5.

HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1

SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.

ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).

Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.

Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5

Ответ: 87,5.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

а) Чтобы доказать, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды, докажем, что прямая, проведенная из точки K, перпендикулярно плоскости α, проходит через середину высоты пирамиды. Поскольку плоскость α параллельна плоскости SBC, прямая, проведенная из точки K перпендикулярно плоскости α, будет также перпендикулярной плоскости SBC.

Поскольку пирамида SABC является правильной треугольной пирамидой, её высота перпендикулярна к основанию ABC и проходит через вершину S. Таким образом, прямая, проведенная из точки K, перпендикулярно плоскости SBC, пересекает высоту пирамиды в середине.

Следовательно, плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

б) Теперь мы знаем, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды. Площадь сечения пирамиды SABC этой плоскостью будет пропорциональной квадрату высоты сечения, и это отношение будет таким же, как отношение высоты сечения к высоте пирамиды.

Давайте обозначим площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α как S_α, а высоту пирамиды как h, а высоту сечения как h_α. Мы знаем, что h = 13 (по условию), и мы доказали, что плоскость α проходит через середину высоты пирамиды.

Теперь у нас есть пропорция:

S_α / S_ABC = (h_α / h)^2

S_α / S_ABC = (h_α / 13)^2

Для нахождения площади сечения S_α, нам нужно найти отношение h_α к h. Но поскольку плоскость α проходит через середину высоты пирамиды, h_α будет равно половине высоты пирамиды, то есть h_α = 13 / 2 = 6.5.

Теперь мы можем найти S_α:

S_α / S_ABC = (6.5 / 13)^2 = 0.25

S_α = 0.25 * S_ABC

Теперь нам нужно найти площадь основания пирамиды ABC. Поскольку ABC - правильный треугольник, его площадь можно найти, зная длину стороны:

S_ABC = (1/4) * sqrt(3) * a^2

где "a" - длина стороны треугольника ABC. Мы можем найти "a" с использованием теоремы Пифагора для треугольника ABK:

a^2 = AK^2 + BK^2 a^2 = 15^2 + 3^2 a^2 = 225 + 9 a^2 = 234 a = sqrt(234)

Теперь мы можем найти S_ABC:

S_ABC = (1/4) * sqrt(3) * (sqrt(234))^2 S_ABC = (1/4) * sqrt(3) * 234 S_ABC = 58.5 * sqrt(3)

И, наконец, мы можем найти S_α:

S_α = 0.25 * S_ABC S_α = 0.25 * (58.5 * sqrt(3)) S_α = 14.625 * sqrt(3)

Таким образом, площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α равна 14.625 * sqrt(3) квадратных единиц.