Question

В треугольнике a b c известно, что угол с=90 градусов , b= 30 градусов. Серидинный перпендикуляр отрезка a b пересекает его в точке м, а отрезок bc в точке к. докажите, что mk= 1_3

Answer 1

Пусть ΔАВС - прямоугольный (∟C = 90 °), ZB = 30 °, МК - серединный перпендикуляр к стороне АВ.
Докажем, что МК = 1 / 3ВС.
Рассмотрим ∟АВС (∟C = 90 °).
Поскольку ∟B = 30 °, то АС = 1 / 2АВ.
МК - серединный перпендикуляр к АВ, то есть ВМ = МА = 1 / 2АВ и МК ┴ АВ.
Так как АС = 1 / 2АВ i ВМ = 1 / 2АВ, то АС = ВМ = МА.
Проведем АК i рассмотрим ΔАМК i ΔАСК:
1) ∟AMK = ∟АСК = 90 ° (по условию)
2) АК - общая;
3) AM = AC (с предыдущего).
Итак, ΔАМК = ΔАСК за катетом i гипотенузой, тогда МК = КС.
Пусть МК = КС = х.
Рассмотрим ΔВМК (∟M = 90 °): ∟B = 30 °, тогда МК = -ВК,
ВК = 2 • МК = 2х. Так как т. А: принадлежит отрезку ВС, то ВС = ВК + КС;
ВС = 2х + х = 3х; МК = х. Итак, МК = 1 / 3ВС.

Answer 2

Давайте рассмотрим заданный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов, угол B равен 30 градусов, а стороны обозначены как a, b и c.

Так как B = 30 градусов, и C = 90 градусов, то A = 180 - B - C = 180 - 30 - 90 = 60 градусов.

Теперь рассмотрим серединный перпендикуляр отрезка AB, который пересекает его в точке M, и отрезок BC, который пересекает его в точке K.

Так как AM является серединным перпендикуляром к BC, то треугольник AMB является прямоугольным, и его гипотенуза MB равна половине гипотенузы AC (по свойству серединного перпендикуляра). Таким образом, MB = MC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть:

• AB (гипотенуза) = c,
• BC (катет) = a,
• AC (катет) = b.

Так как угол B равен 30 градусам, то отношение длины катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике равно $\sin(B)$. Таким образом, $\sin(30^\circ) = \frac{a}{c}$.

Известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$ или $a = \frac{c}{2}$.

Таким образом, MB = MC = $\frac{a}{2} = \frac{c}{4}$.

Теперь рассмотрим отрезок MK. Так как MB = MC и угол MBC прямой, то треугольник MBK также прямоугольный, и отношение длины катета MK к гипотенузе MB равно $\sin(\angle MBK)$.

Из условия задачи угол B = 30 градусов, следовательно, угол MBK также равен 30 градусам.

Таким образом, $\sin(30^\circ) = \frac{MK}{MB}$, и, учитывая, что MB = $\frac{c}{4}$, мы получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{MK}{\frac{c}{4}}$

Умножим обе стороны на 4:

$2 = \frac{4MK}{c}$

Теперь делим обе стороны на 2:

$1 = \frac{MK}{c}$

Таким образом, $MK = \frac{c}{1} = \frac{c}{c} = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $MK = 1$.