Question

Пожалуйста помогите решить В окружность радиусом R вписан равнобедренный треугольник с острым углом α при основании. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.Есть ответ, но как к нему прийти не знаюR •sin 2α •tg(α/2)

Answer 1

Решение прицеплено в картинке

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу и попробуем найти радиус вписанной в треугольник окружности.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R. У нас есть острый угол α при основании (между сторонами AB и AC).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол между биссектрисой треугольника и стороной BC (основанием) также равен α/2.

Теперь рассмотрим треугольник ADE, где D - точка касания вписанной окружности с стороной AB, а E - точка касания с стороной AC.

Так как D и E являются точками касания окружности, их расстояние до центра окружности (точки O) равно радиусу вписанной окружности (пусть радиус вписанной окружности равен r).

Теперь мы имеем следующие отношения:

1. BD = CE = r (расстояние от точек касания до центра вписанной окружности).

2. Отношение BD к AB равно tg(α/2), так как BD является тангенсом половины угла α/2. Точно так же CE к AC.

3. Отношение BD к BC равно sin(α), так как BD является проекцией на BC относительно угла α.

Теперь у нас есть три подобных треугольника: ABD, ACE и ABC.

Из этих треугольников мы можем записать следующие отношения:

BD / AB = r / (R - r) CE / AC = r / (R - r) BD / BC = sin(α)

Теперь выразим BD и CE из первых двух уравнений:

BD = (r / (R - r)) * AB CE = (r / (R - r)) * AC

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение:

(r / (R - r)) * AB / BC = sin(α)

Теперь умножим обе стороны на (R - r):

r * AB / BC = (R - r) * sin(α)

Теперь выразим r:

r * AB / BC = R * sin(α) - r * sin(α)

Теперь сложим r * sin(α) с обеих сторон:

r * AB / BC + r * sin(α) = R * sin(α)

Теперь выразим r:

r * (AB / BC + sin(α)) = R * sin(α)

r = (R * sin(α)) / (AB / BC + sin(α))

Так как AB / BC = 2 (по определению равнобедренного треугольника), то:

r = (R * sin(α)) / (2 + sin(α))

Это и есть искомая формула для радиуса вписанной в треугольник окружности:

r = (R * sin(α)) / (2 + sin(α))

Таким образом, ответ совпадает с предоставленным: r = R * sin(α) / (2 + sin(α)).