Question

Найдите отношение высот треугольника АВС, опущенных из вершин А и В соответственно, если cosα = 1/5, sin β = 1/2.

Answer 1

Проведём высоту из вершины А ΔАВС на сторону ВС ( точку пересечения со стороной ВС обозначим  -Д) ,и высоту из вершины В ΔАВС на сторону АС ( точку пересечения со стороной АС обозначим -М).
Из ΔАМВ ( угол М=90 град) имеем :
ВМ/АВ=sinα
sin²α=1-cos²α      sinα=√1-(1|5)²=√24|25=2√6/5
ВМ=АВ·sinα
Из ΔАДВ ( угол Д=90 град) : АД=АВ·sinβ
BM/AD=(АВ·sinα)/AB·sinβ=sinα/sinβ=2√6/5·2=4√6/5
Ответ: 4√6/5

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства высот треугольника и углов. В данном случае, мы имеем углы α и β, опущенные из вершин А и В соответственно, и известные нам значения cosα и sinβ.

1. Начнем с вычисления sinα. Известно, что sin²α = 1 - cos²α. Подставляем заданное значение cosα и решаем уравнение для sinα:

sin²α = 1 - (1/5)² = 24/25

sinα = √(24/25) = 2√6/5

2. Теперь, когда у нас есть sinα, мы можем вычислить длину высоты ВМ, опущенной из вершины В. Из треугольника ΔАВС, у которого угол М равен 90 градусам, мы имеем:

ВМ/АВ = sinα

ВМ = АВ·sinα

3. Далее, рассмотрим высоту из вершины А ΔАВС на сторону ВС. Из треугольника ΔАДВ, у которого угол Д равен 90 градусам, получаем:

АД = АВ·sinβ

4. Теперь, когда у нас есть длины высот ВМ и АД, мы можем найти отношение этих высот:

Отношение высот = ВМ/АД = sinα/sinβ = (2√6/5) / (1/2) = 4√6/5

Итак, отношение высот треугольника АВС, опущенных из вершин А и В соответственно, равно 4√6/5.