Question

Доказать, что суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

Answer 1

Вот лови... Поймешь?

Answer 2

Для доказательства равенства сумм противоположных сторон описанного четырехугольника можно воспользоваться свойством противоположных сторон параллелограмма.

Свойство противоположных сторон параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник ABCD, описанный вокруг окружности.

Пусть точки M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

Так как четырехугольник ABCD описан вокруг окружности, то у него противоположные углы смежных сторон дополняются до 180 градусов.

Тогда треугольники AMQ и CKB подобны, так как у них равны противоположные углы.

Из подобия треугольников AMQ и CKB следует, что соответственные стороны пропорциональны:

AM / CK = MQ / KB = AQ / CB.

Также треугольники DPC и BQA подобны, так как у них равны противоположные углы.

Из подобия треугольников DPC и BQA следует, что соответственные стороны пропорциональны:

DP / BQ = PC / QA = DC / BA.

Таким образом, мы получили, что противоположные стороны четырехугольника ABCD пропорциональны. А так как точки M, N, P, Q - середины сторон четырехугольника, то противоположные стороны равны.

Таким образом, суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны, что и требовалось доказать.