Question

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH делит диагональ гипотенузу AC в отношении 2:3.Найдите площадь ABC,если его больший катет равен 9

Answer 1

Нарисуем  треугольник, проведем высоту из вершины прямоуго угла и обозначим ее СН.

У высоты прямоугольного треугольника есть свои собственные свойства. 

Одно из них:

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком ВН гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Катет СВ=9

Отрезки, на которые высота поделила гипотенузу, равны 2х и 3х (2х:3х=2:3), причем 3х ближе к вершине В ( проекция стороны СВ)

А всего в гипотенузе таких отрезков 5х.

СВ²=ВН·ВА

81=3х·5х

5х²=81

х=0,6√15

ВН=3·0,6√15=1,8√15

НА=2·0,6√15=1,2√15

2)Отношение отрезков гипотенузы,  на которые высота делит ее, равно отношению соответственных катетов. 

9:АС=1,8√15:1,2√15

9:АС=1,5

АС=6 

S АВС=9·6:2=27 ( ?)²

Answer 2

Для начала найдем длину гипотенузы треугольника ABC. По теореме Пифагора, где AC - гипотенуза, AB и BC - катеты, имеем: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 9^2 + h^2

Так как высота CH делит диагональ гипотенузу AC в отношении 2:3, то можно выразить длины отрезков AH и HC через переменную h: AH = 2/5 * AC HC = 3/5 * AC

Подставим найденные значения в уравнение для AC: AC^2 = 9^2 + (2/5 * AC)^2 + (3/5 * AC)^2 AC^2 = 81 + 4/25 * AC^2 + 9/25 * AC^2 AC^2 = 81 + 13/25 * AC^2 AC^2 - 13/25 * AC^2 = 81 12/25 * AC^2 = 81 AC^2 = 81 * 25 / 12 AC^2 = 168.75 AC = √168.75 AC ≈ 12.99

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = 1/2 * AB * BC

Используя теорему Пифагора, найдем длину второго катета: BC = √(AC^2 - AB^2) BC = √(12.99^2 - 9^2) BC ≈ √(168.75 - 81) BC ≈ √87.75 BC ≈ 9.37

Теперь можем найти площадь треугольника ABC: S = 1/2 * 9 * 9.37 S ≈ 42.165

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет примерно 42.165 квадратных единиц.