Question

Очень прошу решите задачу с объяснениями по геометрии:   В остроугольном треугольнике АВС точки А,С центр описанной окружности О и центр вписанной окружности i лежат на одной окружности.Докажите , что угол АВС равен 60 градусам.

Answer 1

Ясно, что угол AIC = 180° - (A/2 + C/2) = 90° + B/2; раз О и I оба опираются на хорду АС одной окружности, то угол AOC = угол AIC; но угол AOC = 2*B, откуда
2*B = 90° + B/2; B = 60°;

Answer 2

Давайте докажем, что в остроугольном треугольнике ABC угол BAC равен 60 градусов, используя информацию о центре описанной и вписанной окружностей.

1. Пусть O - центр описанной окружности, I - центр вписанной окружности, и M - точка пересечения этих окружностей.

2. Так как точка M лежит на обеих окружностях, она является их общим центром. Таким образом, O, I и M лежат на одной прямой, которую мы будем обозначать как OM.

3. Треугольник OIM - это равносторонний треугольник, так как все его стороны равны радиусам описанной и вписанной окружностей (R и r соответственно). Поэтому угол OMI равен 60 градусов.

4. Теперь рассмотрим треугольник AOM. Угол OAM равен половине угла OMI, то есть 30 градусов, так как OAM - это половина центрального угла OMI.

5. В треугольнике ABC угол BAC равен двойному углу OAM, так как точка A лежит на окружности с центром O и точка O является центром этой окружности. Следовательно, угол BAC равен 2 * 30 градусов, что равно 60 градусам.

Таким образом, мы доказали, что угол BAC в остроугольном треугольнике ABC равен 60 градусов.