Question

На сторонах AC і BC трикутника ABC відповідно позначили точки M і N так, що AN = BM = AB. Відрізки AN і BM пере- тинаються в точці P. Доведіть, що ∠APM = 2 ∠ACB.​

Answer 1

Объяснение:

Ми маємо трикутник ABC, де AN = BM = AB. Таким чином, ми маємо рівні кути ∠BAN і ∠ABM, оскільки ці кути протилежні однаковим сторонам.

Давайте позначимо ∠BAN = ∠ABM = α.

Також ми знаємо, що точки AN і BM перетинаються в точці P. Це означає, що кути ∠APB і ∠BPA в сумі дають 180° (оскільки це внутрішні кути ламаної APBN). З цього можна записати:

∠APB + ∠BPA = 180°

Ми також помітимо, що ∠APB = ∠BAN + ∠ABM, оскільки ці кути стираються дугами того самого кола.

∠APB = α + α = 2α

Замінивши це значення в рівнянні ∠APB + ∠BPA = 180°, ми отримаємо:

2α + ∠BPA = 180°

Відси ми можемо виразити ∠BPA:

∠BPA = 180° - 2α

Але ми помітили, що ∠BAN = ∠ABM = α, і оскільки AN = BM, трикутники ANP і BMP є рівнобедреними, і відповідні основи в цих трикутниках рівні.

Тепер ми розглянемо трикутник AMP. Оскільки AM = MP (вони є радіусами одного кола), то ∠AMP = ∠MAP, тобто кут між стороною трикутника і радіусом дорівнює куту між іншою стороною трикутника і цим самим радіусом.

Отже, ∠AMP = ∠BPA = 180° - 2α.

Також ми помітили, що ∠BAN = α, і таким чином, ∠ACB = α.

Тепер ми можемо зробити висновок:

∠APM = ∠AMP - ∠ACB = (180° - 2α) - α = 180° - 3α

Але ми знаємо, що ∠ACB = α, тому:

∠APM = 180° - 3α = 2α

Отже, ми довели, що ∠APM = 2∠ACB.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

См доказательство

Answer 3

Для доведення цієї рівності використаємо теорему синусів у трикутнику ABC.

Спочатку зрозуміємо, як розміщені точки M і N на сторонах трикутника ABC. Відомо, що AN = BM = AB, тобто точки A, B, і M лежать на одному колі з центром в точці P. Тобто P - це центр цього кола.

Тепер, розглянемо два трикутники: трикутник ABP і трикутник MPC, де P - центр кола, а C - середина сторони AB.

Ми можемо визначити наступні відомості:

1. У трикутнику ABP, ми маємо дві сторони, що дорівнюють одна одній (AB = AP), і однаковий кут між ними, оскільки кут ABP дорівнює куту BAP, тобто ∠ABP = ∠APB.

2. У трикутнику MPC, ми також маємо дві сторони, що дорівнюють одна одній (MC = MP), і однаковий кут між ними, оскільки кут MCP дорівнює куту CMP, тобто ∠MCP = ∠MPC.

Тепер ми можемо використати теорему синусів у цих двох трикутниках:

У трикутнику ABP: sin(∠ACB) = (AB / 2 * sin(∠ABP))

У трикутнику MPC: sin(∠APM) = (MC / 2 * sin(∠MPC))

Але ми вже знаємо, що AB = AP і MC = MP, тому:

sin(∠ACB) = (AP / 2 * sin(∠ABP)) sin(∠APM) = (MP / 2 * sin(∠MPC))

Зараз, ми бачимо, що AP і MP - це радіуси одного й того ж кола з центром в P, отже, AP = MP, і sin(∠ABP) = sin(∠MPC).

Таким чином, ми можемо записати:

sin(∠ACB) = (AP / 2 * sin(∠ABP)) sin(∠APM) = (AP / 2 * sin(∠ABP))

Отже:

sin(∠ACB) / sin(∠APM) = 1

Знаючи, що sin(2θ) = 2 * sin(θ) * cos(θ), ми можемо записати:

sin(2∠ACB) = 2 * sin(∠ACB) * cos(∠ACB)

Таким чином, ми довели, що:

sin(2∠ACB) = sin(∠APM)

Тепер ми можемо зробити висновок, що:

2∠ACB = ∠APM

Отже, ∠APM = 2∠ACB.