Question

Меньше основания равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне найдите углы трапеции

Answer 1

Рисуем трапецию АВСД с основаниями меньшим ВС и большим АД, проводим диагональ АС. 1. Рассмотрим ΔАВС.
 Т.к. он по условию равнобедренный, / ВАС=/ АСВ;  (1)
2. Т.к .АС пересекает параллельные прямые ВС и АД. то / АСВ =/ САД (2) Из (1) и (2) ⇒/ ВАД = 2/ САД; (3)
3. Т.К. трапеция равнобокая, / АВС = / ВСД;
/ ВАД = / АДС; ( 4)
4. Рассмотрим Δ АСД. / АСД по условию 90°, из (3) и (4) ⇒ / АДС = / ВАД = 2/ САД.(5) Т.к, сумма углов Δ равна 180°, то  / САД + / АДС =90°; 3/ САД = 90°; / САД =30°; ⇒ / АДС 60°;
5. / ВСД =/ АСВ + 90° = 120°
Мы могли  бы тупой угол также определить из ΔАВС: 180° - 2·30°=120°)
Ответ острые углы трапеции равны 60°, тупые 120°

Answer 2

Давайте обозначим меньшее основание равнобедренной трапеции через $a$, большее основание через $b$ и боковую сторону через $c$. Также, пусть диагональ трапеции будет обозначена как $d$.

Исходя из условия задачи, у нас есть два уравнения:

1. $a = c$ (Меньшее основание равно боковой стороне)
2. $d \perp c$ (Диагональ перпендикулярна боковой стороне)

Поскольку трапеция равнобокая, диагональ $d$ также является высотой, проведенной на большее основание $b$. Теперь, так как высота трапеции разделяет её на два треугольника, каждый из углов в вершине большего основания будет равен $90^\circ$. Другими словами, сумма углов в вершине большего основания равна $180^\circ$.

Теперь давайте найдем углы в вершине меньшего основания. Пусть эти углы будут обозначены как $\alpha$. Тогда сумма углов в вершине меньшего основания также должна быть равна $180^\circ$.

Таким образом, у нас есть:

$\alpha + \alpha + 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$2\alpha + 180^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 0$

$\alpha = 0^\circ$

Таким образом, углы в вершине меньшего основания трапеции равны $0^\circ$.