Question

Три окружности радиуса 4 см касаются друг друга. Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей.

Answer 1

Если соединить центры, то сразу будет видно, что площадь этого криволинейного треугольника равна разности площадей правильного треугольника со стороной 2R и трех секторов окружностей с углами по 60°;
S = (2*R)^2*sin(60°)/2 - 3*π*R^2/6 = 64*(√3 - π/2);

Answer 2

Для вычисления площади криволинейного треугольника, ограниченного дугами трех окружностей радиуса 4 см, нужно сначала найти угловые меры дуг и затем использовать их для вычисления площади.

Для начала, поскольку все три окружности касаются друг друга, то каждый из центров окружностей находится на равном удалении от точки касания. Таким образом, получается равносторонний треугольник, образованный центрами окружностей. Поскольку радиус каждой окружности равен 4 см, длина каждой стороны равностороннего треугольника равна 8 см.

Теперь найдем угловые меры дуг, ограничивающих этот треугольник. Поскольку треугольник равносторонний, то каждый угол в этом треугольнике равен 60 градусам.

Для вычисления площади криволинейного треугольника можно воспользоваться следующей формулой:

Площадь криволинейного треугольника = (1/2) * R^2 * (θ1 + θ2 + θ3),

где R - радиус окружности, а θ1, θ2 и θ3 - угловые меры дуг.

В данном случае, R = 4 см и θ1 = θ2 = θ3 = 60 градусов. Подставив значения в формулу:

Площадь = (1/2) * 4^2 * (60 + 60 + 60) градусов = (1/2) * 16 * 180 градусов = 8 * 180 градусов = 1440 квадратных градусов.

Чтобы перевести это значение в квадратные сантиметры, нужно учесть, что 360 градусов соответствуют длине окружности радиусом 4 см, то есть 2π * 4 см = 8π см. Таким образом, 1 градус равен (8π/360) см, и 1440 градусов равны:

1440 * (8π/360) см = 32π см^2.

Поэтому площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами трех окружностей, составляет 32π квадратных сантиметра, или примерно 100.53 квадратных сантиметра (если использовать значение π ≈ 3.14159).