Question

Дан равнобедренный треугольник ABC(AB=BC) высота AE и высота BD пересекаются в точке О. BD:AE=5:4,a ED=10 найти сторону AC и R(AOB)/R(ABC)

Answer 1

Ответ:  R(ΔAOB):R(ΔABC)=1:1 , AC=20

Объяснение: Про радиусы обьяснение в файле.

Найдем АС

Из прямоугольного ΔАЕС   ЕС/AC =cos C

Из прямоугольного ΔBDС   DС/BC =cos C

=> EC/AC =DC/BC  и угол С для ΔDEC и ΔВАС - общий

Тогда ΔDEC~ΔBAC

=> AB/DE=AC/EC => AB/10=AC/EC =2DC/EC  ( так как AC=2DC)

Заметим, что ΔBDC~AEC ( по двум углам)

=>BD/AE=DC/EC=BC/AC=5/4 => 2DC/EC=10/4

=> AB/10=10/4 => AB=BC=25

Но BC/AC=5/4 => 25/AC=5/4 => AC=20

Answer 2

Для решения данной задачи сначала найдем длину стороны AC в равнобедренном треугольнике ABC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, мы знаем, что высота AE делит его на два равных треугольника ABE и ACE. Таким образом, отношение длин BD к AE равно 5:4. Пусть BD = 5x и AE = 4x, где x - некоторое положительное число.

Теперь мы знаем, что ED = 10, и ED = BD - BE. Так как BD = 5x, то BE = 5x - 10.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины стороны AC:

AC^2 = AE^2 + EC^2 AC^2 = (4x)^2 + (5x - 10)^2 AC^2 = 16x^2 + 25x^2 - 100x + 100 AC^2 = 41x^2 - 100x + 100

Теперь нам нужно найти значение x. Мы знаем, что ED = 10 и ED = 5x - 10, поэтому:

5x - 10 = 10

Теперь добавим 10 к обеим сторонам уравнения:

5x = 20

Теперь разделим обе стороны на 5:

x = 4

Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем найти длину стороны AC:

AC^2 = 41x^2 - 100x + 100 AC^2 = 41(4^2) - 100(4) + 100 AC^2 = 41*16 - 400 + 100 AC^2 = 656 - 400 + 100 AC^2 = 356

AC = √356

Теперь, чтобы найти отношение площадей треугольников AOB и ABC, нам нужно знать высоту треугольника AOB, которая проходит через точку О. Давайте обозначим эту высоту как OH.

Треугольник AOB и треугольник ABC имеют общий основание AB, и высоты треугольников проходят через одну и ту же точку О. Таким образом, отношение площадей треугольников AOB и ABC равно отношению высот OH и OE.

OH/OE = R(AOB)/R(ABC)

Мы знаем, что BD:AE = 5:4, и поскольку BD = 5x и AE = 4x, то OD/OE также равно 5:4. Таким образом, OD/OE = 5/4.

Теперь нам известно, что OD + OE = 10 (так как ED = 10). Мы можем представить OE как 4y и OD как 5y (где y - некоторое положительное число).

5y + 4y = 10 9y = 10 y = 10/9

Теперь мы можем найти OD и OE:

OD = 5y = 5 * (10/9) = 50/9 OE = 4y = 4 * (10/9) = 40/9

Теперь мы можем найти отношение R(AOB)/R(ABC):

R(AOB)/R(ABC) = OH/OE = (50/9)/(40/9) = 5/4

Итак, отношение площадей треугольников AOB и ABC равно 5/4, а длина стороны AC равна √356.