Question

Вершины тетраэдра находятся в точках A(2,-1,4 )B(6,6,1) C(0,-2,6) D(3,-3,7) Найти его объем

Answer 1

АВ(4;7;-3)
АС(-2;-1;2)
АD(1;-2;3)

V=1/6 |AB*ACxAD|=
1/6(-12+14-12-3+42+16)=
7.5

Answer 2

Для нахождения объема тетраэдра, если известны координаты его вершин, вы можете воспользоваться формулой объема тетраэдра:

V = (1/6) * |det(A, B, C, D)|

где det(A, B, C, D) - это определитель матрицы, составленной из векторов, образованных разностями координат вершин тетраэдра.

Сначала вычислим векторы AB, AC и AD:

AB = B - A = (6, 6, 1) - (2, -1, 4) = (4, 7, -3) AC = C - A = (0, -2, 6) - (2, -1, 4) = (-2, -1, 2) AD = D - A = (3, -3, 7) - (2, -1, 4) = (1, -2, 3)

Теперь составим матрицу из этих векторов:

| 4 -2 1 | | 7 -1 -2 | | -3 2 3 |

Теперь вычислим определитель этой матрицы:

det(A, B, C, D) = 4 * (-1 * 3 - 2 * (-2)) - (-2 * 3 - 1 * (-2)) + 1 * (7 * 3 - (-1) * (-2)) det(A, B, C, D) = 4 * (-3 + 4) - (-6 + 2) + 1 * (21 + 2) det(A, B, C, D) = 4 * 1 - (-4) + 1 * 23 det(A, B, C, D) = 4 + 4 + 23 det(A, B, C, D) = 31

Теперь подставим значение определителя в формулу объема тетраэдра:

V = (1/6) * |det(A, B, C, D)| V = (1/6) * 31 V = 31/6

Таким образом, объем тетраэдра равен 31/6 единицам объема.