Question

В окружность радиуса 29 вписана трапеция основания которой равны 40 и 42, причем центр окружности лежит внутри трапециинайдие высоту этой трапеции

Answer 1

Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам,
и наоборот,
радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
В окружность может быть вписана только равнобедренная трапеция...

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами вписанных углов и прямоугольных треугольников, образованных радиусами окружности и высотой трапеции.

Поскольку центр окружности лежит внутри трапеции, он является точкой пересечения её диагоналей. Пусть $O$ - центр окружности, $AB = 40$ - меньшее основание трапеции, $CD = 42$ - большее основание трапеции. Пусть также точки пересечения центра окружности с диагоналями трапеции обозначены как $E$ и $F$, где $E$ лежит на меньшем основании, а $F$ - на большем.

Так как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол $\angle AOC$ вписанный угол, опирающийся на дугу $AC$, равен углу $\angle AEC$ трапеции. То же самое верно для угла $\angle BOD$ и угла $\angle BFD$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $AOE$ и $DOF$. Эти треугольники прямоугольные, так как радиус окружности является перпендикуляром к хорде в точке её середины. Из этого следует, что:

$AO = OE = 29$ $DO = OF = 29$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты трапеции, которая является высотой прямоугольного треугольника $AOE$ или $DOF$.

$AE^2 = AO^2 - OE^2 = 29^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = 29^2 - 20^2 = 441$ $DE^2 = DO^2 - OE^2 = 29^2 - \left(\frac{CD}{2}\right)^2 = 29^2 - 21^2 = 400$

Теперь мы можем найти высоту трапеции, используя теорему Пифагора:

$EF^2 = AE^2 + DE^2 = 441 + 400 = 841$

Таким образом, высота трапеции $EF$ равна $\sqrt{841} = 29$.