Question

Вычислите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями f(x)=-x²+3x, y=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями $f(x) = -x^2 + 3x$ и $y = 0$, мы должны определить границы интегрирования и затем интегрировать функцию по x в этом интервале. Границы интегрирования будут точками пересечения $f(x)$ с осью x, то есть когда $f(x) = 0$.

Решим уравнение $-x^2 + 3x = 0$ для нахождения точек пересечения: $-x^2 + 3x = 0$

Факторизуем: $-x(x - 3) = 0$

Таким образом, $x = 0$ и $x = 3$ - это точки пересечения.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, интегрируя $f(x)$ от 0 до 3:

$$\text{Площадь} = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$$

Рассчитаем интеграл:

$$\text{Площадь} = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3$$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$$\text{Площадь} = \left[ -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 \right] - \left[ -\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 \right]$$

Упростим выражение:

$$\text{Площадь} = \left[ -9 + \frac{27}{2} \right] - \left[ 0 \right] = -9 + \frac{27}{2} = -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями $f(x) = -x^2 + 3x$ и $y = 0$ равна $\frac{9}{2}$ квадратных единиц.