Question

Помогите решить задачу: Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна 4 см. Острые углы треугольника относятся как 2:1. Найти периметр треугольника.

Answer 1

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть гипотенуза равна 4*2 = 8 см.

Если острые углы треугольника относятся как 2:1, то они равны:

((90°/(2 + 1))*1 = 30° и 90° - 30° = 60°.

Получаем один из треугольников (катет, медиана и половина гипотенузы) равносторонним.

Значит, один катет равен 4 см (как и половина гипотенузы).

Второй катет равен √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см.

Периметр равен 8 + 4 + 4√3 =12 + 4√3.

Answer 2

Давайте обозначим острые углы треугольника через α и β, где α - больший из двух острых углов, и β - меньший острый угол.

Согласно условию, медиана, проведенная к гипотенузе, равна 4 см. Это означает, что она делит гипотенузу на две равные части. Пусть длина гипотенузы равна H см, тогда каждая из ее частей будет равна H/2 см.

Теперь, используя соотношение между острыми углами треугольника, мы можем записать:

α = 2β

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому:

α + β + 90 градусов = 180 градусов

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала найдем β:

α = 2β β + 2β + 90 = 180 3β + 90 = 180 3β = 180 - 90 3β = 90 β = 90 / 3 β = 30 градусов

Теперь, когда мы знаем значение β, мы можем найти α:

α = 2β α = 2 * 30 α = 60 градусов

Теперь у нас есть углы треугольника: α = 60 градусов, β = 30 градусов, и прямой угол 90 градусов.

Мы также знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна 4 см, и что она делит гипотенузу H на две равные части. Таким образом, каждая из этих частей равна H/2 = 4 см, отсюда:

H = 2 * 4 см = 8 см

Теперь, когда у нас есть длина гипотенузы H, мы можем найти длины катетов, используя тригонометрические функции:

Катет AC = H * sin(β) = 8 см * sin(30 градусов) = 8 см * 0.5 = 4 см Катет BC = H * sin(α) = 8 см * sin(60 градусов) = 8 см * (√3 / 2) = 4√3 см

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника: AC = 4 см, BC = 4√3 см и AB (гипотенуза) = 8 см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

Периметр = AC + BC + AB = 4 см + 4√3 см + 8 см = 12 см + 4√3 см ≈ 18.93 см (примерно)

Итак, периметр треугольника примерно равен 18.93 см.