Question

Точка М-середина стороны АВ треугольника АВС. На отрезки СМ выбраны точки Р и Q так, что Q=2РМ. Окозалось, что угол АРМ=90°. Докажите, что ВQ=АС

Answer 1

Если провести перпендикуляр ВD к прямой СМ, то треугольники АРМ и ВDМ равны по гипотенузе и острому углу, значит:
1. РМ=МD и РD=2РМ=CQ, а отсюда CP=CQ+QP=PD+QP=QD
2.АР=ВД,
тогда треугольники АСР и BQD равны по двум катетам,тогда AC=BQ, т.е. BQ/АС=1.

Answer 2

Для доказательства равенства BQ и AC, давайте рассмотрим треугольники BQV и AMС, где V - точка пересечения отрезков BM и CQ.

Сначала определим точки P и Q в отношении длины CM, так как M - середина стороны AB и Q = 2PM:

Пусть CM = x, тогда AM = MB = x (так как M - середина AB) и MQ = 2x (так как Q = 2PM).

Теперь давайте рассмотрим треугольник ARM. У нас есть информация о том, что угол ARM = 90 градусов. Это означает, что AM и MR - это катет и гипотенуза прямоугольного треугольника ARM соответственно. Таким образом, по теореме Пифагора:

AR^2 = AM^2 + MR^2 AR^2 = x^2 + (2x)^2 AR^2 = x^2 + 4x^2 AR^2 = 5x^2

Теперь давайте рассмотрим треугольники BQV и AMС. Мы знаем, что MQ = 2x, и угол ARM = 90 градусов. Также у нас есть угол BMQ = BMR (так как оба они равны AMR). Это означает, что треугольники BQV и AMС подобны по углам:

1. Угол BQV = угол AMС (по угловой теореме при параллельных линиях).
2. Угол QBV = угол САМ (по углу BMQ = углу BMR = углу AMR).

Теперь мы знаем, что треугольники BQV и AMС подобны по двум углам, следовательно, они подобны в целом.

Следовательно, отношение длин соответствующих сторон в этих треугольниках равно:

BV / AC = BQ / AM = QM / CM

Теперь мы можем найти QM, зная, что Q = 2PM и MQ = 2x:

QM = MQ - MP QM = 2x - x QM = x

Таким образом, BV / AC = QM / CM = x / x = 1.

Из этого следует, что BV = AC.

Таким образом, мы доказали, что BQ = AC.